Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngdvlem3-rN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erngdvlem3-rN 35801
Description: Lemma for eringring 35795. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h-r 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ernggrp.d-r 𝐷 = ((EDRingR𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.b-r 𝐵 = (Base‘𝐾)
ernggrplem.t-r 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.e-r 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.p-r 𝑃 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
ernggrplem.o-r 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
ernggrplem.i-r 𝐼 = (𝑎𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑎𝑓)))
erngrnglem.m-r 𝑀 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑏𝑎))
Assertion
Ref Expression
erngdvlem3-rN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑎,𝑏,𝐸   𝑓,𝑎,𝐾,𝑏   𝑓,𝐻   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓   𝑊,𝑎,𝑏,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑓,𝑎,𝑏)   𝑃(𝑓,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑎,𝑏)   𝐼(𝑓,𝑎,𝑏)   𝑀(𝑓,𝑎,𝑏)   𝑂(𝑓,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem erngdvlem3-rN
Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h-r . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 ernggrplem.t-r . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 ernggrplem.e-r . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 ernggrp.d-r . . . 4 𝐷 = ((EDRingR𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
61, 2, 3, 4, 5erngbase-rN 35612 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
76eqcomd 2627 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
8 eqid 2621 . . . 4 (+g𝐷) = (+g𝐷)
91, 2, 3, 4, 8erngfplus-rN 35613 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (+g𝐷) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓)))))
10 ernggrplem.p-r . . 3 𝑃 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
119, 10syl6reqr 2674 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑃 = (+g𝐷))
12 eqid 2621 . . . 4 (.r𝐷) = (.r𝐷)
131, 2, 3, 4, 12erngfmul-rN 35616 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (.r𝐷) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑏𝑎)))
14 erngrnglem.m-r . . 3 𝑀 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑏𝑎))
1513, 14syl6reqr 2674 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑀 = (.r𝐷))
16 ernggrplem.b-r . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
17 ernggrplem.o-r . . 3 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
18 ernggrplem.i-r . . 3 𝐼 = (𝑎𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑎𝑓)))
191, 4, 16, 2, 3, 10, 17, 18erngdvlem1-rN 35799 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Grp)
2015oveqd 6627 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
21203ad2ant1 1080 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
221, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 35617 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑡𝑠))
23223impb 1257 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑡𝑠))
2421, 23eqtrd 2655 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑡𝑠))
251, 3tendococl 35575 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑡𝐸𝑠𝐸) → (𝑡𝑠) ∈ 𝐸)
26253com23 1268 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑡𝑠) ∈ 𝐸)
2724, 26eqeltrd 2698 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠𝑀𝑡) ∈ 𝐸)
2815oveqdr 6634 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡𝑀𝑢) = (𝑡(.r𝐷)𝑢))
291, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 35617 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡(.r𝐷)𝑢) = (𝑢𝑡))
30293adantr1 1218 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡(.r𝐷)𝑢) = (𝑢𝑡))
3128, 30eqtrd 2655 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡𝑀𝑢) = (𝑢𝑡))
3231coeq1d 5248 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑡𝑀𝑢) ∘ 𝑠) = ((𝑢𝑡) ∘ 𝑠))
3315oveqd 6627 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠𝑀(𝑡𝑀𝑢)) = (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑀𝑢)))
3433adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑀𝑢)) = (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑀𝑢)))
35 simpl 473 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
36 simpr1 1065 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → 𝑠𝐸)
37 simpr3 1067 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → 𝑢𝐸)
38 simpr2 1066 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → 𝑡𝐸)
391, 3tendococl 35575 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸𝑡𝐸) → (𝑢𝑡) ∈ 𝐸)
4035, 37, 38, 39syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑢𝑡) ∈ 𝐸)
4131, 40eqeltrd 2698 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡𝑀𝑢) ∈ 𝐸)
421, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 35617 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ (𝑡𝑀𝑢) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑀𝑢)) = ((𝑡𝑀𝑢) ∘ 𝑠))
4335, 36, 41, 42syl12anc 1321 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑀𝑢)) = ((𝑡𝑀𝑢) ∘ 𝑠))
4434, 43eqtrd 2655 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑀𝑢)) = ((𝑡𝑀𝑢) ∘ 𝑠))
4515oveqd 6627 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑠𝑀𝑡)(.r𝐷)𝑢))
4645adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑠𝑀𝑡)(.r𝐷)𝑢))
47273adant3r3 1273 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀𝑡) ∈ 𝐸)
481, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 35617 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝑀𝑡) ∈ 𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)(.r𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑀𝑡)))
4935, 47, 37, 48syl12anc 1321 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)(.r𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑀𝑡)))
5015oveqdr 6634 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
51223adantr3 1220 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑡𝑠))
5250, 51eqtrd 2655 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑡𝑠))
5352coeq2d 5249 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑢 ∘ (𝑠𝑀𝑡)) = (𝑢 ∘ (𝑡𝑠)))
5446, 49, 533eqtrd 2659 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑡𝑠)))
55 coass 5618 . . . 4 ((𝑢𝑡) ∘ 𝑠) = (𝑢 ∘ (𝑡𝑠))
5654, 55syl6eqr 2673 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑢𝑡) ∘ 𝑠))
5732, 44, 563eqtr4rd 2666 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = (𝑠𝑀(𝑡𝑀𝑢)))
581, 2, 3, 10tendodi2 35588 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝐸𝑢𝐸𝑠𝐸)) → ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠) = ((𝑡𝑠)𝑃(𝑢𝑠)))
5935, 38, 37, 36, 58syl13anc 1325 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠) = ((𝑡𝑠)𝑃(𝑢𝑠)))
6015oveqd 6627 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠𝑀(𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑃𝑢)))
6160adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑃𝑢)))
621, 2, 3, 10tendoplcl 35584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑡𝐸𝑢𝐸) → (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)
6335, 38, 37, 62syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)
641, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 35617 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠))
6535, 36, 63, 64syl12anc 1321 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠))
6661, 65eqtrd 2655 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠))
6715oveqdr 6634 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀𝑢) = (𝑠(.r𝐷)𝑢))
681, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 35617 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑢) = (𝑢𝑠))
69683adantr2 1219 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑢) = (𝑢𝑠))
7067, 69eqtrd 2655 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀𝑢) = (𝑢𝑠))
7152, 70oveq12d 6628 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑃(𝑠𝑀𝑢)) = ((𝑡𝑠)𝑃(𝑢𝑠)))
7259, 66, 713eqtr4d 2665 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑠𝑀𝑡)𝑃(𝑠𝑀𝑢)))
731, 2, 3, 10tendodi1 35587 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢𝐸𝑠𝐸𝑡𝐸)) → (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)) = ((𝑢𝑠)𝑃(𝑢𝑡)))
7435, 37, 36, 38, 73syl13anc 1325 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)) = ((𝑢𝑠)𝑃(𝑢𝑡)))
7515adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → 𝑀 = (.r𝐷))
7675oveqd 6627 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡)(.r𝐷)𝑢))
771, 2, 3, 10tendoplcl 35584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸)
78773adant3r3 1273 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸)
791, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 35617 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)(.r𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)))
8035, 78, 37, 79syl12anc 1321 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)(.r𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)))
8176, 80eqtrd 2655 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)𝑀𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)))
8270, 31oveq12d 6628 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑢)𝑃(𝑡𝑀𝑢)) = ((𝑢𝑠)𝑃(𝑢𝑡)))
8374, 81, 823eqtr4d 2665 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑠𝑀𝑢)𝑃(𝑡𝑀𝑢)))
841, 2, 3tendoidcl 35572 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
8515oveqd 6627 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝑇)𝑀𝑠) = (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑠))
8685adantr 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (( I ↾ 𝑇)𝑀𝑠) = (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑠))
87 simpl 473 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8884adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
89 simpr 477 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → 𝑠𝐸)
901, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 35617 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸𝑠𝐸)) → (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑠) = (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
9187, 88, 89, 90syl12anc 1321 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑠) = (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
921, 2, 3tendo1mulr 35574 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑠)
9386, 91, 923eqtrd 2659 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (( I ↾ 𝑇)𝑀𝑠) = 𝑠)
9415oveqd 6627 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠𝑀( I ↾ 𝑇)) = (𝑠(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)))
9594adantr 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠𝑀( I ↾ 𝑇)) = (𝑠(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)))
961, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 35617 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠))
9787, 89, 88, 96syl12anc 1321 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠))
981, 2, 3tendo1mul 35573 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠) = 𝑠)
9995, 97, 983eqtrd 2659 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠𝑀( I ↾ 𝑇)) = 𝑠)
1007, 11, 15, 19, 27, 57, 72, 83, 84, 93, 99isringd 18517 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cmpt 4678   I cid 4989  ccnv 5078  cres 5081  ccom 5083  cfv 5852  (class class class)co 6610  cmpt2 6612  Basecbs 15792  +gcplusg 15873  .rcmulr 15874  Ringcrg 18479  HLchlt 34152  LHypclh 34785  LTrncltrn 34902  TEndoctendo 35555  EDRingRcedring-rN 35557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-riotaBAD 33754
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-undef 7351  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-0g 16034  df-preset 16860  df-poset 16878  df-plt 16890  df-lub 16906  df-glb 16907  df-join 16908  df-meet 16909  df-p0 16971  df-p1 16972  df-lat 16978  df-clat 17040  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-grp 17357  df-mgp 18422  df-ring 18481  df-oposet 33978  df-ol 33980  df-oml 33981  df-covers 34068  df-ats 34069  df-atl 34100  df-cvlat 34124  df-hlat 34153  df-llines 34299  df-lplanes 34300  df-lvols 34301  df-lines 34302  df-psubsp 34304  df-pmap 34305  df-padd 34597  df-lhyp 34789  df-laut 34790  df-ldil 34905  df-ltrn 34906  df-trl 34961  df-tendo 35558  df-edring-rN 35559
This theorem is referenced by:  erngdvlem4-rN  35802  erngring-rN  35803
  Copyright terms: Public domain W3C validator