Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngdvlem4-rN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erngdvlem4-rN 35794
Description: Lemma for erngdv 35788. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h-r 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ernggrp.d-r 𝐷 = ((EDRingR𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.b-r 𝐵 = (Base‘𝐾)
ernggrplem.t-r 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.e-r 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.p-r 𝑃 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
ernggrplem.o-r 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
ernggrplem.i-r 𝐼 = (𝑎𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑎𝑓)))
erngrnglem.m-r 𝑀 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑏𝑎))
edlemk6.j-r = (join‘𝐾)
edlemk6.m-r = (meet‘𝐾)
edlemk6.r-r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
edlemk6.p-r 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
edlemk6.z-r 𝑍 = ((𝑄 (𝑅𝑏)) ((𝑄) (𝑅‘(𝑏(𝑠)))))
edlemk6.y-r 𝑌 = ((𝑄 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
edlemk6.x-r 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠)) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑄) = 𝑌))
edlemk6.u-r 𝑈 = (𝑔𝑇 ↦ if((𝑠) = , 𝑔, 𝑋))
Assertion
Ref Expression
erngdvlem4-rN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐷 ∈ DivRing)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝐷,𝑠   𝑎,𝑏,𝑠,𝐸   𝑓,𝑎,𝐾,𝑏,𝑠   𝑓,𝐻,𝑠   𝑂,𝑠   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑠   𝑊,𝑎,𝑏,𝑓,𝑠   𝑃,𝑠   𝑔,𝑏,𝑧,   ,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏   𝑔,𝑠,𝐵,𝑧   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝑔,𝐾,𝑧   𝑀,𝑠   𝑃,𝑔,𝑧   𝑄,𝑏,𝑔,𝑧   𝑅,𝑏,𝑔,𝑧   𝑇,𝑔,𝑧   𝑔,𝑊,𝑧   𝑧,𝑌   𝑔,𝑍   𝑓,𝑔,𝑧   ,𝑏,𝑔,𝑠,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(,𝑎)   𝐷(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑎,𝑏)   𝑃(𝑓,,𝑎,𝑏)   𝑄(𝑓,,𝑠,𝑎)   𝑅(𝑓,,𝑠,𝑎)   𝑇()   𝑈(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑠,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑧,𝑓,𝑔,)   𝐻(,𝑎)   𝐼(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑠,𝑎,𝑏)   (𝑓,,𝑠,𝑎)   𝐾()   𝑀(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑎,𝑏)   (𝑓,,𝑠,𝑎)   𝑂(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑎,𝑏)   𝑊()   𝑋(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑓,𝑔,,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑓,,𝑠,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem erngdvlem4-rN
Dummy variables 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h-r . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 ernggrplem.t-r . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 ernggrplem.e-r . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 ernggrp.d-r . . . . 5 𝐷 = ((EDRingR𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
61, 2, 3, 4, 5erngbase-rN 35604 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
76eqcomd 2627 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
87adantr 481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
9 eqid 2621 . . . . 5 (.r𝐷) = (.r𝐷)
101, 2, 3, 4, 9erngfmul-rN 35608 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (.r𝐷) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑏𝑎)))
11 erngrnglem.m-r . . . 4 𝑀 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑏𝑎))
1210, 11syl6reqr 2674 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑀 = (.r𝐷))
1312adantr 481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑀 = (.r𝐷))
14 ernggrplem.b-r . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
15 ernggrplem.o-r . . . . . . 7 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
1614, 1, 2, 3, 15tendo0cl 35585 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂𝐸)
1716, 6eleqtrrd 2701 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐷))
18 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (+g𝐷) = (+g𝐷)
191, 2, 3, 4, 18erngfplus-rN 35605 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (+g𝐷) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓)))))
20 ernggrplem.p-r . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
2119, 20syl6reqr 2674 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑃 = (+g𝐷))
2221oveqd 6627 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂𝑃𝑂) = (𝑂(+g𝐷)𝑂))
2314, 1, 2, 3, 15, 20tendo0pl 35586 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑂𝐸) → (𝑂𝑃𝑂) = 𝑂)
2416, 23mpdan 701 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂𝑃𝑂) = 𝑂)
2522, 24eqtr3d 2657 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂(+g𝐷)𝑂) = 𝑂)
26 ernggrplem.i-r . . . . . . 7 𝐼 = (𝑎𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑎𝑓)))
271, 4, 14, 2, 3, 20, 15, 26erngdvlem1-rN 35791 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Grp)
28 eqid 2621 . . . . . . 7 (0g𝐷) = (0g𝐷)
295, 18, 28isgrpid2 17386 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Grp → ((𝑂 ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝑂(+g𝐷)𝑂) = 𝑂) ↔ (0g𝐷) = 𝑂))
3027, 29syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑂 ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝑂(+g𝐷)𝑂) = 𝑂) ↔ (0g𝐷) = 𝑂))
3117, 25, 30mpbi2and 955 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (0g𝐷) = 𝑂)
3231eqcomd 2627 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂 = (0g𝐷))
3332adantr 481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑂 = (0g𝐷))
341, 2, 3tendoidcl 35564 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
3534, 6eleqtrrd 2701 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷))
366eleq2d 2684 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑢 ∈ (Base‘𝐷) ↔ 𝑢𝐸))
37 simpl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3834adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
39 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → 𝑢𝐸)
401, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 35609 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸𝑢𝐸)) → (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
4137, 38, 39, 40syl12anc 1321 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
421, 2, 3tendo1mulr 35566 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → (𝑢 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)
4341, 42eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = 𝑢)
441, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 35609 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑢))
4537, 39, 38, 44syl12anc 1321 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑢))
461, 2, 3tendo1mul 35565 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑢) = 𝑢)
4745, 46eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)
4843, 47jca 554 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → ((( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢))
4948ex 450 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑢𝐸 → ((( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)))
5036, 49sylbid 230 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑢 ∈ (Base‘𝐷) → ((( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)))
5150ralrimiv 2960 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∀𝑢 ∈ (Base‘𝐷)((( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢))
521, 4, 14, 2, 3, 20, 15, 26, 11erngdvlem3-rN 35793 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
53 eqid 2621 . . . . . . 7 (1r𝐷) = (1r𝐷)
545, 9, 53isringid 18501 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Ring → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ∀𝑢 ∈ (Base‘𝐷)((( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)) ↔ (1r𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
5552, 54syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ∀𝑢 ∈ (Base‘𝐷)((( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)) ↔ (1r𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
5635, 51, 55mpbi2and 955 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (1r𝐷) = ( I ↾ 𝑇))
5756eqcomd 2627 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) = (1r𝐷))
5857adantr 481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ( I ↾ 𝑇) = (1r𝐷))
5952adantr 481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐷 ∈ Ring)
60 simp1l 1083 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6112oveqd 6627 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
6260, 61syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
63 simp2l 1085 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → 𝑠𝐸)
64 simp3l 1087 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → 𝑡𝐸)
651, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 35609 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑡𝑠))
6660, 63, 64, 65syl12anc 1321 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑡𝑠))
6762, 66eqtrd 2655 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑡𝑠))
68 simp3 1061 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝑡𝐸𝑡𝑂))
69 simp2 1060 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝑠𝐸𝑠𝑂))
7014, 1, 2, 3, 15tendoconid 35624 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑡𝑠) ≠ 𝑂)
7160, 68, 69, 70syl3anc 1323 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝑡𝑠) ≠ 𝑂)
7267, 71eqnetrd 2857 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝑠𝑀𝑡) ≠ 𝑂)
7314, 1, 2, 3, 15tendo1ne0 35623 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)
7473adantr 481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)
75 simpll 789 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
76 simplrl 799 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → 𝑇)
77 simpr 477 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑠𝐸𝑠𝑂))
78 edlemk6.j-r . . . . 5 = (join‘𝐾)
79 edlemk6.m-r . . . . 5 = (meet‘𝐾)
80 edlemk6.r-r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
81 edlemk6.p-r . . . . 5 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
82 edlemk6.z-r . . . . 5 𝑍 = ((𝑄 (𝑅𝑏)) ((𝑄) (𝑅‘(𝑏(𝑠)))))
83 edlemk6.y-r . . . . 5 𝑌 = ((𝑄 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
84 edlemk6.x-r . . . . 5 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠)) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑄) = 𝑌))
85 edlemk6.u-r . . . . 5 𝑈 = (𝑔𝑇 ↦ if((𝑠) = , 𝑔, 𝑋))
8614, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml6 35776 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑇 ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑈𝐸 ∧ (𝑈‘(𝑠)) = ))
8786simpld 475 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑇 ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → 𝑈𝐸)
8875, 76, 77, 87syl3anc 1323 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → 𝑈𝐸)
8914, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml9 35779 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → 𝑈𝑂)
90893expa 1262 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → 𝑈𝑂)
9112oveqd 6627 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠𝑀𝑈) = (𝑠(.r𝐷)𝑈))
9291ad2antrr 761 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑠𝑀𝑈) = (𝑠(.r𝐷)𝑈))
93 simprl 793 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → 𝑠𝐸)
941, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 35609 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑈𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑈) = (𝑈𝑠))
9575, 93, 88, 94syl12anc 1321 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑠(.r𝐷)𝑈) = (𝑈𝑠))
9614, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml8 35778 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑈𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
97963expa 1262 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑈𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
9895, 97eqtrd 2655 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑠(.r𝐷)𝑈) = ( I ↾ 𝑇))
9992, 98eqtrd 2655 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑠𝑀𝑈) = ( I ↾ 𝑇))
1008, 13, 33, 58, 59, 72, 74, 88, 90, 99isdrngrd 18701 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐷 ∈ DivRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  ifcif 4063  cmpt 4678   I cid 4989  ccnv 5078  cres 5081  ccom 5083  cfv 5852  crio 6570  (class class class)co 6610  cmpt2 6612  Basecbs 15788  +gcplusg 15869  .rcmulr 15870  occoc 15877  0gc0g 16028  joincjn 16872  meetcmee 16873  Grpcgrp 17350  1rcur 18429  Ringcrg 18475  DivRingcdr 18675  HLchlt 34144  LHypclh 34777  LTrncltrn 34894  trLctrl 34952  TEndoctendo 35547  EDRingRcedring-rN 35549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-riotaBAD 33746
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-tpos 7304  df-undef 7351  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-fz 12276  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-0g 16030  df-preset 16856  df-poset 16874  df-plt 16886  df-lub 16902  df-glb 16903  df-join 16904  df-meet 16905  df-p0 16967  df-p1 16968  df-lat 16974  df-clat 17036  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-grp 17353  df-minusg 17354  df-mgp 18418  df-ur 18430  df-ring 18477  df-oppr 18551  df-dvdsr 18569  df-unit 18570  df-invr 18600  df-dvr 18611  df-drng 18677  df-oposet 33970  df-ol 33972  df-oml 33973  df-covers 34060  df-ats 34061  df-atl 34092  df-cvlat 34116  df-hlat 34145  df-llines 34291  df-lplanes 34292  df-lvols 34293  df-lines 34294  df-psubsp 34296  df-pmap 34297  df-padd 34589  df-lhyp 34781  df-laut 34782  df-ldil 34897  df-ltrn 34898  df-trl 34953  df-tendo 35550  df-edring-rN 35551
This theorem is referenced by:  erngdv-rN  35796
  Copyright terms: Public domain W3C validator