Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumlub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumlub 29945
Description: The extended sum is the lowest upper bound for the partial sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2017.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumlub.f 𝑘𝜑
esumlub.0 (𝜑𝐴𝑉)
esumlub.1 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumlub.2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
esumlub.3 (𝜑𝑋 < Σ*𝑘𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
esumlub (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < Σ*𝑘𝑎𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑎,𝐴   𝐵,𝑎   𝑋,𝑎   𝜑,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘,𝑎)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem esumlub
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumlub.3 . . . 4 (𝜑𝑋 < Σ*𝑘𝐴𝐵)
2 esumlub.f . . . . . . 7 𝑘𝜑
3 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑘𝐴
4 esumlub.0 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
5 esumlub.1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6 eqidd 2622 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))
72, 3, 4, 5, 6esumval 29931 . . . . . 6 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))), ℝ*, < ))
87breq2d 4635 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 < Σ*𝑘𝐴𝐵𝑋 < sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))), ℝ*, < )))
9 iccssxr 12214 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
10 xrge0base 29512 . . . . . . . . . 10 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
11 xrge0cmn 19728 . . . . . . . . . . 11 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
1211a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
13 inss2 3818 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ Fin
14 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
1513, 14sseldi 3586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
16 nfv 1840 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
172, 16nfan 1825 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
18 simpll 789 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝜑)
19 inss1 3817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
2019sseli 3584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
2120ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
2221elpwid 4148 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥𝐴)
23 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝑥)
2422, 23sseldd 3589 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝐴)
2518, 24, 5syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2625ex 450 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
2717, 26ralrimi 2953 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2810, 12, 15, 27gsummptcl 18306 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
299, 28sseldi 3586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) ∈ ℝ*)
3029ralrimiva 2962 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) ∈ ℝ*)
31 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))
3231rnmptss 6358 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) ⊆ ℝ*)
3330, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) ⊆ ℝ*)
34 esumlub.2 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
35 supxrlub 12114 . . . . . 6 ((ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) ⊆ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑋 < sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))𝑋 < 𝑦))
3633, 34, 35syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 < sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))𝑋 < 𝑦))
378, 36bitrd 268 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 < Σ*𝑘𝐴𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))𝑋 < 𝑦))
381, 37mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))𝑋 < 𝑦)
39 ovex 6643 . . . . 5 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∈ V
4039a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∈ V)
41 mpteq1 4707 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑎 → (𝑘𝑥𝐵) = (𝑘𝑎𝐵))
4241oveq2d 6631 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑎 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
4342cbvmptv 4720 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) = (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
4443, 39elrnmpti 5346 . . . . 5 (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
4544a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵))))
46 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵))) → 𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
4746breq2d 4635 . . . 4 ((𝜑𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵))) → (𝑋 < 𝑦𝑋 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵))))
4840, 45, 47rexxfr2d 4853 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))𝑋 < 𝑦 ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵))))
4938, 48mpbid 222 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
50 nfv 1840 . . . . . . 7 𝑘 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
512, 50nfan 1825 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
52 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
5313, 52sseldi 3586 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ Fin)
54 simpll 789 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝜑)
5519sseli 3584 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
5655ad2antlr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
5756elpwid 4148 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑎𝐴)
58 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑘𝑎)
5957, 58sseldd 3589 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑘𝐴)
6054, 59, 5syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6151, 53, 60gsumesum 29944 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) = Σ*𝑘𝑎𝐵)
6261breq2d 4635 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑋 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ↔ 𝑋 < Σ*𝑘𝑎𝐵))
6362biimpd 219 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑋 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) → 𝑋 < Σ*𝑘𝑎𝐵))
6463reximdva 3013 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < Σ*𝑘𝑎𝐵))
6549, 64mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑋 < Σ*𝑘𝑎𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wral 2908  wrex 2909  Vcvv 3190  cin 3559  wss 3560  𝒫 cpw 4136   class class class wbr 4623  cmpt 4683  ran crn 5085  (class class class)co 6615  Fincfn 7915  supcsup 8306  0cc0 9896  +∞cpnf 10031  *cxr 10033   < clt 10034  [,]cicc 12136  s cress 15801   Σg cgsu 16041  *𝑠cxrs 16100  CMndccmn 18133  Σ*cesum 29912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-xadd 11907  df-ioo 12137  df-ioc 12138  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-hash 13074  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-ordt 16101  df-xrs 16102  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-ps 17140  df-tsr 17141  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-ntr 20764  df-nei 20842  df-cn 20971  df-haus 21059  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-tsms 21870  df-esum 29913
This theorem is referenced by:  esumfsup  29955  esum2d  29978
  Copyright terms: Public domain W3C validator