Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  expcnfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcnfg 39214
 Description: If 𝐹 is a complex continuous function and N is a fixed number, then F^N is continuous too. A generalization of expcncf 22628. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnfg.1 𝑥𝐹
expcnfg.2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ))
expcnfg.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
expcnfg (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((𝐹𝑥)↑𝑁)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem expcnfg
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2767 . . . . 5 𝑡((𝐹𝑥)↑𝑁)
2 expcnfg.1 . . . . . . 7 𝑥𝐹
3 nfcv 2767 . . . . . . 7 𝑥𝑡
42, 3nffv 6157 . . . . . 6 𝑥(𝐹𝑡)
5 nfcv 2767 . . . . . 6 𝑥
6 nfcv 2767 . . . . . 6 𝑥𝑁
74, 5, 6nfov 6631 . . . . 5 𝑥((𝐹𝑡)↑𝑁)
8 fveq2 6150 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑡 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑡))
98oveq1d 6620 . . . . 5 (𝑥 = 𝑡 → ((𝐹𝑥)↑𝑁) = ((𝐹𝑡)↑𝑁))
101, 7, 9cbvmpt 4714 . . . 4 (𝑥𝐴 ↦ ((𝐹𝑥)↑𝑁)) = (𝑡𝐴 ↦ ((𝐹𝑡)↑𝑁))
11 expcnfg.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ))
12 cncff 22599 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
1413ffvelrnda 6316 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐴) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
15 expcnfg.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1615adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1714, 16expcld 12945 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐴) → ((𝐹𝑡)↑𝑁) ∈ ℂ)
18 oveq1 6612 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑡) → (𝑥𝑁) = ((𝐹𝑡)↑𝑁))
19 eqid 2626 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))
204, 7, 18, 19fvmptf 6258 . . . . . . 7 (((𝐹𝑡) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑡)↑𝑁) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘(𝐹𝑡)) = ((𝐹𝑡)↑𝑁))
2114, 17, 20syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝐴) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘(𝐹𝑡)) = ((𝐹𝑡)↑𝑁))
2221eqcomd 2632 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝐴) → ((𝐹𝑡)↑𝑁) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘(𝐹𝑡)))
2322mpteq2dva 4709 . . . 4 (𝜑 → (𝑡𝐴 ↦ ((𝐹𝑡)↑𝑁)) = (𝑡𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘(𝐹𝑡))))
2410, 23syl5eq 2672 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((𝐹𝑥)↑𝑁)) = (𝑡𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘(𝐹𝑡))))
25 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
2615adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2725, 26expcld 12945 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝑁) ∈ ℂ)
2827, 19fmptd 6341 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)):ℂ⟶ℂ)
29 fcompt 6355 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)):ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹) = (𝑡𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘(𝐹𝑡))))
3028, 13, 29syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹) = (𝑡𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘(𝐹𝑡))))
3124, 30eqtr4d 2663 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((𝐹𝑥)↑𝑁)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹))
32 expcncf 22628 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3315, 32syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3411, 33cncfco 22613 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹) ∈ (𝐴cn→ℂ))
3531, 34eqeltrd 2704 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((𝐹𝑥)↑𝑁)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  Ⅎwnfc 2754   ↦ cmpt 4678   ∘ ccom 5083  ⟶wf 5846  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  ℂcc 9879  ℕ0cn0 11237  ↑cexp 12797  –cn→ccncf 22582 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-mulf 9961 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-hom 15882  df-cco 15883  df-rest 15999  df-topn 16000  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-topgen 16020  df-pt 16021  df-prds 16024  df-xrs 16078  df-qtop 16083  df-imas 16084  df-xps 16086  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-mulg 17457  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-cnfld 19661  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-cn 20936  df-cnp 20937  df-tx 21270  df-hmeo 21463  df-xms 22030  df-ms 22031  df-tms 22032  df-cncf 22584 This theorem is referenced by:  ibliccsinexp  39460  itgsinexplem1  39463  itgsinexp  39464
 Copyright terms: Public domain W3C validator