MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expmul 12842
Description: Product of exponents law for positive integer exponentiation. Proposition 10-4.2(b) of [Gleason] p. 135, restricted to nonnegative integer exponents. (Contributed by NM, 4-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
expmul ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁))

Proof of Theorem expmul
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6613 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · 0))
21oveq2d 6621 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 · 0)))
3 oveq2 6613 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((𝐴𝑀)↑𝑗) = ((𝐴𝑀)↑0))
42, 3eqeq12d 2641 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑀 · 0)) = ((𝐴𝑀)↑0)))
54imbi2d 330 . . . 4 (𝑗 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 0)) = ((𝐴𝑀)↑0))))
6 oveq2 6613 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · 𝑘))
76oveq2d 6621 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 · 𝑘)))
8 oveq2 6613 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴𝑀)↑𝑗) = ((𝐴𝑀)↑𝑘))
97, 8eqeq12d 2641 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴𝑀)↑𝑘)))
109imbi2d 330 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴𝑀)↑𝑘))))
11 oveq2 6613 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · (𝑘 + 1)))
1211oveq2d 6621 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))))
13 oveq2 6613 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑀)↑𝑗) = ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1)))
1412, 13eqeq12d 2641 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1))))
1514imbi2d 330 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1)))))
16 oveq2 6613 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · 𝑁))
1716oveq2d 6621 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)))
18 oveq2 6613 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴𝑀)↑𝑗) = ((𝐴𝑀)↑𝑁))
1917, 18eqeq12d 2641 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁)))
2019imbi2d 330 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁))))
21 nn0cn 11247 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℂ)
2221mul01d 10180 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 · 0) = 0)
2322oveq2d 6621 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 · 0)) = (𝐴↑0))
24 exp0 12801 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
2523, 24sylan9eqr 2682 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 0)) = 1)
26 expcl 12815 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
27 exp0 12801 . . . . . 6 ((𝐴𝑀) ∈ ℂ → ((𝐴𝑀)↑0) = 1)
2826, 27syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀)↑0) = 1)
2925, 28eqtr4d 2663 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 0)) = ((𝐴𝑀)↑0))
30 oveq1 6612 . . . . . . 7 ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴𝑀)↑𝑘) → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴𝑀)) = (((𝐴𝑀)↑𝑘) · (𝐴𝑀)))
31 nn0cn 11247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
32 ax-1cn 9939 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
33 adddi 9970 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + (𝑀 · 1)))
3432, 33mp3an3 1410 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + (𝑀 · 1)))
35 mulid1 9982 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀 · 1) = 𝑀)
3635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑀 · 1) = 𝑀)
3736oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑘) + (𝑀 · 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
3834, 37eqtrd 2660 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
3921, 31, 38syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
4039adantll 749 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
4140oveq2d 6621 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = (𝐴↑((𝑀 · 𝑘) + 𝑀)))
42 simpll 789 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
43 nn0mulcl 11274 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑘) ∈ ℕ0)
4443adantll 749 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑘) ∈ ℕ0)
45 simplr 791 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
46 expadd 12839 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 · 𝑘) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 · 𝑘) + 𝑀)) = ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴𝑀)))
4742, 44, 45, 46syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 · 𝑘) + 𝑀)) = ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴𝑀)))
4841, 47eqtrd 2660 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴𝑀)))
49 expp1 12804 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴𝑀)↑𝑘) · (𝐴𝑀)))
5026, 49sylan 488 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴𝑀)↑𝑘) · (𝐴𝑀)))
5148, 50eqeq12d 2641 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1)) ↔ ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴𝑀)) = (((𝐴𝑀)↑𝑘) · (𝐴𝑀))))
5230, 51syl5ibr 236 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴𝑀)↑𝑘) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1))))
5352expcom 451 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴𝑀)↑𝑘) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1)))))
5453a2d 29 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴𝑀)↑𝑘)) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1)))))
555, 10, 15, 20, 29, 54nn0ind 11416 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁)))
5655expdcom 455 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁))))
57563imp 1254 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  (class class class)co 6605  cc 9879  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886  0cn0 11237  cexp 12797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-seq 12739  df-exp 12798
This theorem is referenced by:  expmulz  12843  expnass  12907  expmuld  12948  mcubic  24469  quart1  24478  log2cnv  24566  log2ublem2  24569  log2ub  24571  basellem3  24704  bclbnd  24900  fmtnoprmfac1lem  40763  41prothprmlem2  40822
  Copyright terms: Public domain W3C validator