MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcl 12918
Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by NM, 26-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
expcl ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3657 . 2 ℂ ⊆ ℂ
2 mulcl 10058 . 2 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3 ax-1cn 10032 . 2 1 ∈ ℂ
41, 2, 3expcllem 12911 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2030  (class class class)co 6690  cc 9972  0cn0 11330  cexp 12900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-exp 12901
This theorem is referenced by:  expeq0  12930  expnegz  12934  mulexp  12939  mulexpz  12940  expadd  12942  expaddzlem  12943  expaddz  12944  expmul  12945  expmulz  12946  expdiv  12951  binom3  13025  digit2  13037  digit1  13038  expcld  13048  faclbnd2  13118  faclbnd4lem4  13123  faclbnd6  13126  cjexp  13934  absexp  14088  ackbijnn  14604  binomlem  14605  binom1p  14607  binom1dif  14609  expcnv  14640  geolim  14645  geolim2  14646  geo2sum  14648  geomulcvg  14651  geoisum  14652  geoisumr  14653  geoisum1  14654  geoisum1c  14655  0.999...  14656  0.999...OLD  14657  fallrisefac  14800  0risefac  14813  binomrisefac  14817  bpolysum  14828  bpolydiflem  14829  fsumkthpow  14831  bpoly3  14833  bpoly4  14834  fsumcube  14835  eftcl  14848  eftabs  14850  efcllem  14852  efcj  14866  efaddlem  14867  eflegeo  14895  efi4p  14911  prmreclem6  15672  decsplitOLD  15838  karatsuba  15839  karatsubaOLD  15840  expmhm  19863  mbfi1fseqlem6  23532  itg0  23591  itgz  23592  itgcl  23595  itgcnlem  23601  itgsplit  23647  dvexp  23761  dvexp3  23786  plyf  23999  ply1termlem  24004  plypow  24006  plyeq0lem  24011  plypf1  24013  plyaddlem1  24014  plymullem1  24015  coeeulem  24025  coeidlem  24038  coeid3  24041  plyco  24042  dgrcolem2  24075  plycjlem  24077  plyrecj  24080  vieta1  24112  elqaalem3  24121  aareccl  24126  aalioulem1  24132  geolim3  24139  psergf  24211  dvradcnv  24220  psercn2  24222  pserdvlem2  24227  pserdv2  24229  abelthlem4  24233  abelthlem5  24234  abelthlem6  24235  abelthlem7  24237  abelthlem9  24239  advlogexp  24446  logtayllem  24450  logtayl  24451  logtaylsum  24452  logtayl2  24453  cxpeq  24543  dcubic1lem  24615  dcubic2  24616  dcubic1  24617  dcubic  24618  mcubic  24619  cubic2  24620  cubic  24621  binom4  24622  dquartlem2  24624  dquart  24625  quart1cl  24626  quart1lem  24627  quart1  24628  quartlem1  24629  quartlem2  24630  quart  24633  atantayl  24709  atantayl2  24710  atantayl3  24711  leibpi  24714  log2cnv  24716  log2tlbnd  24717  log2ublem3  24720  ftalem1  24844  ftalem4  24847  ftalem5  24848  basellem3  24854  musum  24962  1sgmprm  24969  perfect  25001  lgsquadlem1  25150  rplogsumlem2  25219  ostth2lem2  25368  numclwlk3lem3  27322  ipval2  27690  dipcl  27695  dipcn  27703  subfacval2  31295  jm2.23  37880  lhe4.4ex1a  38845  perfectALTV  41957  altgsumbc  42455  altgsumbcALT  42456  nn0digval  42719
  Copyright terms: Public domain W3C validator