Theorem expcl 13448

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3989	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 10621	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 10595	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 13441	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  ℕ₀cn0 11898  ↑cexp 13430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-seq 13371  df-exp 13431

This theorem is referenced by:  expeq0  13460  expnegz  13464  mulexp  13469  mulexpz  13470  expadd  13472  expaddzlem  13473  expaddz  13474  expmul  13475  expmulz  13476  expdiv  13481  expcld  13511  binom3  13586  digit2  13598  digit1  13599  faclbnd2  13652  faclbnd4lem4  13657  faclbnd6  13660  cjexp  14509  absexp  14664  ackbijnn  15183  binomlem  15184  binom1p  15186  binom1dif  15188  expcnv  15219  geolim  15226  geolim2  15227  geo2sum  15229  geomulcvg  15232  geoisum  15233  geoisumr  15234  geoisum1  15235  geoisum1c  15236  0.999...  15237  fallrisefac  15379  0risefac  15392  binomrisefac  15396  bpolysum  15407  bpolydiflem  15408  fsumkthpow  15410  bpoly3  15412  bpoly4  15413  fsumcube  15414  eftcl  15427  eftabs  15429  efcllem  15431  efcj  15445  efaddlem  15446  eflegeo  15474  efi4p  15490  prmreclem6  16257  karatsuba  16420  expmhm  20614  mbfi1fseqlem6  24321  itg0  24380  itgz  24381  itgcl  24384  itgcnlem  24390  itgsplit  24436  dvexp  24550  dvexp3  24575  plyf  24788  ply1termlem  24793  plypow  24795  plyeq0lem  24800  plypf1  24802  plyaddlem1  24803  plymullem1  24804  coeeulem  24814  coeidlem  24827  coeid3  24830  plyco  24831  dgrcolem2  24864  plycjlem  24866  plyrecj  24869  vieta1  24901  elqaalem3  24910  aareccl  24915  aalioulem1  24921  geolim3  24928  psergf  25000  dvradcnv  25009  psercn2  25011  pserdvlem2  25016  pserdv2  25018  abelthlem4  25022  abelthlem5  25023  abelthlem6  25024  abelthlem7  25026  abelthlem9  25028  advlogexp  25238  logtayllem  25242  logtayl  25243  logtaylsum  25244  logtayl2  25245  cxpeq  25338  dcubic1lem  25421  dcubic2  25422  dcubic1  25423  dcubic  25424  mcubic  25425  cubic2  25426  cubic  25427  binom4  25428  dquartlem2  25430  dquart  25431  quart1cl  25432  quart1lem  25433  quart1  25434  quartlem1  25435  quartlem2  25436  quart  25439  atantayl  25515  atantayl2  25516  atantayl3  25517  leibpi  25520  log2cnv  25522  log2tlbnd  25523  log2ublem3  25526  ftalem1  25650  ftalem4  25653  ftalem5  25654  basellem3  25660  musum  25768  1sgmprm  25775  perfect  25807  lgsquadlem1  25956  rplogsumlem2  26061  ostth2lem2  26210  numclwwlk3lem1  28161  ipval2  28484  dipcl  28489  dipcn  28497  subfacval2  32434  jm2.23  39613  lhe4.4ex1a  40681  perfectALTV  43908  altgsumbc  44420  altgsumbcALT  44421  nn0digval  44680