MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcl 12691
Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by NM, 26-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
expcl ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3582 . 2 ℂ ⊆ ℂ
2 mulcl 9872 . 2 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3 ax-1cn 9846 . 2 1 ∈ ℂ
41, 2, 3expcllem 12684 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1975  (class class class)co 6523  cc 9786  0cn0 11135  cexp 12673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-seq 12615  df-exp 12674
This theorem is referenced by:  expeq0  12703  expnegz  12707  mulexp  12712  mulexpz  12713  expadd  12715  expaddzlem  12716  expaddz  12717  expmul  12718  expmulz  12719  expdiv  12724  binom3  12798  digit2  12810  digit1  12811  expcld  12821  faclbnd2  12891  faclbnd4lem4  12896  faclbnd6  12899  cjexp  13680  absexp  13834  ackbijnn  14341  binomlem  14342  binom1p  14344  binom1dif  14346  expcnv  14377  geolim  14382  geolim2  14383  geo2sum  14385  geomulcvg  14388  geoisum  14389  geoisumr  14390  geoisum1  14391  geoisum1c  14392  0.999...  14393  0.999...OLD  14394  fallrisefac  14537  0risefac  14550  binomrisefac  14554  bpolysum  14565  bpolydiflem  14566  fsumkthpow  14568  bpoly3  14570  bpoly4  14571  fsumcube  14572  eftcl  14585  eftabs  14587  efcllem  14589  efcj  14603  efaddlem  14604  eflegeo  14632  efi4p  14648  prmreclem6  15405  decsplitOLD  15571  karatsuba  15572  karatsubaOLD  15573  expmhm  19576  mbfi1fseqlem6  23206  itg0  23265  itgz  23266  itgcl  23269  itgcnlem  23275  itgsplit  23321  dvexp  23435  dvexp3  23458  plyf  23671  ply1termlem  23676  plypow  23678  plyeq0lem  23683  plypf1  23685  plyaddlem1  23686  plymullem1  23687  coeeulem  23697  coeidlem  23710  coeid3  23713  plyco  23714  dgrcolem2  23747  plycjlem  23749  plyrecj  23752  vieta1  23784  elqaalem3  23793  aareccl  23798  aalioulem1  23804  geolim3  23811  psergf  23883  dvradcnv  23892  psercn2  23894  pserdvlem2  23899  pserdv2  23901  abelthlem4  23905  abelthlem5  23906  abelthlem6  23907  abelthlem7  23909  abelthlem9  23911  advlogexp  24114  logtayllem  24118  logtayl  24119  logtaylsum  24120  logtayl2  24121  cxpeq  24211  dcubic1lem  24283  dcubic2  24284  dcubic1  24285  dcubic  24286  mcubic  24287  cubic2  24288  cubic  24289  binom4  24290  dquartlem2  24292  dquart  24293  quart1cl  24294  quart1lem  24295  quart1  24296  quartlem1  24297  quartlem2  24298  quart  24301  atantayl  24377  atantayl2  24378  atantayl3  24379  leibpi  24382  log2cnv  24384  log2tlbnd  24385  log2ublem3  24388  ftalem1  24512  ftalem4  24515  ftalem5  24516  basellem3  24522  musum  24630  1sgmprm  24637  perfect  24669  lgsquadlem1  24818  rplogsumlem2  24887  ostth2lem2  25036  numclwlk3lem3  26362  ipval2  26743  dipcl  26751  dipcn  26759  sspival  26777  subfacval2  30225  jm2.23  36380  lhe4.4ex1a  37349  perfectALTV  39967  av-numclwlk3lem3  41504  altgsumbc  41921  altgsumbcALT  41922  nn0digval  42190
  Copyright terms: Public domain W3C validator