Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodn0f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodn0f 14647
 Description: A finite product of nonzero terms is nonzero. A version of fprodn0 14634 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodn0f.kph 𝑘𝜑
fprodn0f.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodn0f.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodn0f.bne0 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
fprodn0f (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodn0f
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodn0f.kph . . 3 𝑘𝜑
2 difssd 3716 . . 3 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
3 eldifi 3710 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
43adantr 481 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
5 eldifi 3710 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℂ)
65adantl 482 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
74, 6mulcld 10004 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
8 eldifsni 4289 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
98adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ≠ 0)
10 eldifsni 4289 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
1110adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
124, 6, 9, 11mulne0d 10623 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
1312neneqd 2795 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ¬ (𝑥 · 𝑦) = 0)
14 ovex 6632 . . . . . . 7 (𝑥 · 𝑦) ∈ V
1514elsn 4163 . . . . . 6 ((𝑥 · 𝑦) ∈ {0} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 0)
1613, 15sylnibr 319 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ¬ (𝑥 · 𝑦) ∈ {0})
177, 16eldifd 3566 . . . 4 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
1817adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
19 fprodn0f.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
20 fprodn0f.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
21 fprodn0f.bne0 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
2221neneqd 2795 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝐵 = 0)
23 elsng 4162 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ {0} ↔ 𝐵 = 0))
2420, 23syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 ∈ {0} ↔ 𝐵 = 0))
2522, 24mtbird 315 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ {0})
2620, 25eldifd 3566 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
27 ax-1cn 9938 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
28 0ne1 11032 . . . . . . . . 9 0 ≠ 1
2928necomi 2844 . . . . . . . 8 1 ≠ 0
30 neneq 2796 . . . . . . . 8 (1 ≠ 0 → ¬ 1 = 0)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . 7 ¬ 1 = 0
32 1ex 9979 . . . . . . . 8 1 ∈ V
3332elsn 4163 . . . . . . 7 (1 ∈ {0} ↔ 1 = 0)
3431, 33mtbir 313 . . . . . 6 ¬ 1 ∈ {0}
3527, 34pm3.2i 471 . . . . 5 (1 ∈ ℂ ∧ ¬ 1 ∈ {0})
36 eldif 3565 . . . . 5 (1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ¬ 1 ∈ {0}))
3735, 36mpbir 221 . . . 4 1 ∈ (ℂ ∖ {0})
3837a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ (ℂ ∖ {0}))
391, 2, 18, 19, 26, 38fprodcllemf 14613 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
40 eldifsni 4289 . 2 (∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
4139, 40syl 17 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480  Ⅎwnf 1705   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   ∖ cdif 3552  {csn 4148  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  ℂcc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885  ∏cprod 14560 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-prod 14561 This theorem is referenced by:  fprodle  14652
 Copyright terms: Public domain W3C validator