Theorem frlmdim 31009

Description: Dimension of a free left module. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
frlmdim.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frlmdim	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (dim‘𝐹) = (♯‘𝐼))

Proof of Theorem frlmdim

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmdim.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2	1	frlmlvec 20905	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ LVec)
3		drngring 19509	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
4		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑅 unitVec 𝐼)
5		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝐹) = (LBasis‘𝐹)
6	1, 4, 5	frlmlbs 20941	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘𝐹))
7	3, 6	sylan 582	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘𝐹))
8	5	dimval 31001	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘𝐹)) → (dim‘𝐹) = (♯‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
9	2, 7, 8	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (dim‘𝐹) = (♯‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
10		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑉)
11		drngnzr 20035	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
12		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
13	4, 1, 12	uvcf1 20936	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼–1-1→(Base‘𝐹))
14	11, 13	sylan 582	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼–1-1→(Base‘𝐹))
15		hashf1rn 13714	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼–1-1→(Base‘𝐹)) → (♯‘(𝑅 unitVec 𝐼)) = (♯‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
16	10, 14, 15	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑅 unitVec 𝐼)) = (♯‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
17		mptexg 6984	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V)
18	17	ad2antlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V)
19	18	ralrimiva 3182	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V)
20		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
21	20	fnmpt 6488	. . . . 5 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) Fn 𝐼)
22	19, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) Fn 𝐼)
23		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
24		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
25	4, 23, 24	uvcfval 20928	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
26	25	fneq1d 6446	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) Fn 𝐼))
27	22, 26	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼)
28		hashfn 13737	. . 3 ⊢ ((𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 → (♯‘(𝑅 unitVec 𝐼)) = (♯‘𝐼))
29	27, 28	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑅 unitVec 𝐼)) = (♯‘𝐼))
30	9, 16, 29	3eqtr2d 2862	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (dim‘𝐹) = (♯‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  Vcvv 3494  ifcif 4467   ↦ cmpt 5146  ran crn 5556   Fn wfn 6350  –1-1→wf1 6352  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ♯chash 13691  Basecbs 16483  0_gc0g 16713  1_rcur 19251  Ringcrg 19297  DivRingcdr 19502  LBasisclbs 19846  LVecclvec 19874  NzRingcnzr 20030   freeLMod cfrlm 20890   unitVec cuvc 20926  dimcldim 30999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-reg 9056  ax-inf2 9104  ax-ac2 9885  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-tpos 7892  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-sup 8906  df-oi 8974  df-r1 9193  df-rank 9194  df-card 9368  df-acn 9371  df-ac 9542  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-hash 13692  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ocomp 16586  df-ds 16587  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-mri 16859  df-acs 16860  df-proset 17538  df-drs 17539  df-poset 17556  df-ipo 17762  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-drng 19504  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lmhm 19794  df-lbs 19847  df-lvec 19875  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-nzr 20031  df-dsmm 20876  df-frlm 20891  df-uvc 20927  df-dim 31000

This theorem is referenced by:  rrxdim  31012  matdim  31013