Theorem gbowgt5 43947

Description: Any weak odd Goldbach number is greater than 5. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gbowgt5	⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 5 < 𝑍)

Proof of Theorem gbowgt5

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgbow 43937	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
2		prmuz2 16040	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
3		eluz2 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝))
4	2, 3	sylib 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝))
5		prmuz2 16040	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ (ℤ≥‘2))
6		eluz2 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞))
7	5, 6	sylib 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞))
8	4, 7	anim12i 614	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)))
9		prmuz2 16040	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ (ℤ≥‘2))
10		eluz2 12250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟))
11	9, 10	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟))
12		zre 11986	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) → 𝑝 ∈ ℝ)
14		zre 11986	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 ∈ ℤ → 𝑞 ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞) → 𝑞 ∈ ℝ)
16	13, 15	anim12i 614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) → (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ))
17		2re 11712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
18	17, 17	pm3.2i 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
19	16, 18	jctil 522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) → ((2 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)))
20		simp3 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) → 2 ≤ 𝑝)
21		simp3 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞) → 2 ≤ 𝑞)
22	20, 21	anim12i 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) → (2 ≤ 𝑝 ∧ 2 ≤ 𝑞))
23		le2add 11122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)) → ((2 ≤ 𝑝 ∧ 2 ≤ 𝑞) → (2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞)))
24	19, 22, 23	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) → (2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞))
25		2p2e4 11773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 + 2) = 4
26	25	breq1i 5073	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞) ↔ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞))
27		zaddcl 12023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
28	27	zred 12088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
29	28	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
30		zre 11986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 ∈ ℤ → 𝑟 ∈ ℝ)
31	30	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 𝑟 ∈ ℝ)
32	29, 31	anim12i 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ))
33		4re 11722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 4 ∈ ℝ
34	33, 17	pm3.2i 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
35	32, 34	jctil 522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → ((4 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ)))
36		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) → 4 ≤ (𝑝 + 𝑞))
37		simp3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 2 ≤ 𝑟)
38	36, 37	anim12i 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → (4 ≤ (𝑝 + 𝑞) ∧ 2 ≤ 𝑟))
39		le2add 11122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((4 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ)) → ((4 ≤ (𝑝 + 𝑞) ∧ 2 ≤ 𝑟) → (4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
40	35, 38, 39	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → (4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
41		4p2e6 11791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (4 + 2) = 6
42	41	breq1i 5073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 6 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
43		5lt6 11819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 5 < 6
44		5re 11725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 5 ∈ ℝ
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → 5 ∈ ℝ)
46		6re 11728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 6 ∈ ℝ
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → 6 ∈ ℝ)
48	27	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
49		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → 𝑟 ∈ ℤ)
50	48, 49	zaddcld 12092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ∈ ℤ)
51	50	zred 12088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ∈ ℝ)
52		ltletr 10732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ∈ ℝ) → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
53	45, 47, 51, 52	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
54	43, 53	mpani 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (6 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
55	42, 54	syl5bi 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → ((4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
56	55	expcom 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 ∈ ℤ → ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
57	56	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
58	57	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → ((4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
59	58	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → ((4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
60	59	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → ((4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
61	40, 60	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
62	61	exp31 422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (4 ≤ (𝑝 + 𝑞) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
63	26, 62	syl5bi 244	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
64	63	expcom 416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 ∈ ℤ → (𝑝 ∈ ℤ → ((2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
65	64	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞) → (𝑝 ∈ ℤ → ((2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
66	65	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞) → ((2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
67	66	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞) → ((2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
68	67	imp 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) → ((2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
69	24, 68	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
70	69	imp 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
71		breq2 5070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (5 < 𝑍 ↔ 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
72	70, 71	syl5ibrcom 249	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < 𝑍))
73	8, 11, 72	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < 𝑍))
74	73	rexlimdva 3284	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < 𝑍))
75	74	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ Odd ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < 𝑍))
76	75	rexlimdvva 3294	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < 𝑍))
77	76	imp 409	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 5 < 𝑍)
78	1, 77	sylbi 219	1 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 5 < 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3139   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℝcr 10536   + caddc 10540   < clt 10675   ≤ cle 10676  2c2 11693  4c4 11695  5c5 11696  6c6 11697  ℤcz 11982  ℤ_≥cuz 12244  ℙcprime 16015   Odd codd 43810   GoldbachOddW cgbow 43931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-seq 13371  df-exp 13431  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608  df-prm 16016  df-gbow 43934

This theorem is referenced by:  gbowge7  43948