MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltletr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltletr 10721
Description: Transitive law. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
ltletr ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem ltletr
StepHypRef Expression
1 leloe 10716 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶)))
213adant1 1122 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶)))
3 lttr 10706 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
43expcomd 417 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
5 breq2 5062 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))
65biimpd 230 . . . . 5 (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))
76a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
84, 7jaod 853 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
92, 8sylbid 241 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
109impcomd 412 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5058  cr 10525   < clt 10664  cle 10665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670
This theorem is referenced by:  ltleletr  10722  ltletri  10757  ltletrd  10789  ltleadd  11112  lediv12a  11522  nngt0  11657  nnrecgt0  11669  elnnnn0c  11931  elnnz1  11997  zltp1le  12021  uz3m2nn  12280  zbtwnre  12335  ledivge1le  12450  addlelt  12493  qbtwnre  12582  xlemul1a  12671  xrsupsslem  12690  zltaddlt1le  12880  elfzodifsumelfzo  13093  ssfzo12bi  13122  elfznelfzo  13132  ceile  13207  swrdswrd  14057  swrdccatin1  14077  repswswrd  14136  sqrlem4  14595  resqrex  14600  caubnd  14708  rlim2lt  14844  cos01gt0  15534  ruclem12  15584  oddge22np1  15688  sadcaddlem  15796  nn0seqcvgd  15904  coprm  16045  prmgaplem7  16383  prmlem1  16431  prmlem2  16443  icoopnst  23472  ovollb2lem  24018  dvcnvrelem1  24543  aaliou  24856  tanord  25049  logdivlti  25130  logdivlt  25131  ftalem2  25579  gausslemma2dlem1a  25869  pntlem3  26113  crctcshwlkn0lem3  27518  nn0prpwlem  33568  isbasisrelowllem1  34519  isbasisrelowllem2  34520  ltflcei  34762  tan2h  34766  poimirlem29  34803  poimirlem32  34806  stoweidlem26  42192  stoweid  42229  2leaddle2  43379  gbegt5  43773  gbowgt5  43774  sgoldbeven3prm  43795  nnsum4primesodd  43808  nnsum4primesoddALTV  43809  evengpoap3  43811  bgoldbnnsum3prm  43816  cznnring  44125  nn0sumltlt  44296  rege1logbrege0  44516  rege1logbzge0  44517  fllog2  44526  dignn0ldlem  44560
  Copyright terms: Public domain W3C validator