MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumeq2dv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumeq2dv 14224
Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
sumeq2dv.1 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
sumeq2dv (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2dv
StepHypRef Expression
1 sumeq2dv.1 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
21ralrimiva 2945 . 2 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 = 𝐶)
32sumeq2d 14223 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Σcsu 14207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-fz 12150  df-seq 12616  df-sum 14208
This theorem is referenced by:  sumeq2sdv  14225  2sumeq2dv  14226  sumeq12dv  14227  sumeq12rdv  14228  fsumf1o  14244  fsumss  14246  fsumsplit  14261  isummulc1  14279  isumdivc  14280  isumge0  14282  fsum2dlem  14286  fsumshftm  14298  fsum0diag2  14300  fsummulc1  14302  fsumdivc  14303  fsumneg  14304  fsumsub  14305  fsum2mul  14306  telfsumo2  14319  fsumparts  14322  hashiun  14338  ackbijnn  14342  binomlem  14343  binom1p  14345  incexclem  14350  incexc  14351  incexc2  14352  isum1p  14355  arisum  14374  trireciplem  14376  geoserg  14380  geo2sum  14386  mertenslem1  14398  mertenslem2  14399  mertens  14400  binomfallfaclem2  14553  binomrisefac  14555  bpolylem  14561  bpolydiflem  14567  fsumkthpow  14569  efaddlem  14605  rpnnen2lem10  14734  rpnnen2lem11  14735  fsumdvds  14811  pwp1fsum  14895  phisum  15276  pcfac  15384  ramcl  15514  lagsubg2  17421  sylow2a  17800  rrxcph  22902  trirn  22905  rrxmval  22910  rrxmet  22913  ovoliunnul  22996  ovolicc2lem4  23009  uniioombllem4  23074  vitalilem5  23101  itg1addlem4  23186  itg1addlem5  23187  itg1mulc  23191  itg10a  23197  itg1climres  23201  itgss  23298  itgeqa  23300  itgsplit  23322  elply2  23670  elplyd  23676  plyeq0lem  23684  plyaddlem1  23687  plymullem1  23688  coeeulem  23698  coeeq2  23716  coemullem  23724  coe1termlem  23732  plycjlem  23750  plyrecj  23753  dvply1  23757  elqaalem3  23794  aareccl  23799  aannenlem1  23801  taylpval  23839  dvtaylp  23842  pserdvlem2  23900  pserdv2  23902  abelthlem8  23911  abelthlem9  23912  abelth  23913  logtayl  24120  leibpi  24383  birthdaylem2  24393  amgmlem  24430  emcllem5  24440  fsumharmonic  24452  lgamcvg2  24495  ftalem5  24517  basellem3  24523  basellem8  24528  sgmval2  24583  fsumdvdscom  24625  dvdsflsumcom  24628  musum  24631  musumsum  24632  muinv  24633  fsumdvdsmul  24635  sgmppw  24636  1sgmprm  24638  chtlepsi  24645  pclogsum  24654  vmasum  24655  logfac2  24656  chpval2  24657  chpchtsum  24658  logexprlim  24664  logfacrlim2  24665  perfectlem2  24669  dchrsum2  24707  sumdchr2  24709  dchrhash  24710  dchr2sum  24712  sum2dchr  24713  pcbcctr  24715  bposlem2  24724  lgsquadlem1  24819  lgsquadlem2  24820  chebbnd1lem1  24872  rplogsumlem1  24887  rplogsumlem2  24888  rpvmasumlem  24890  dchrisumlem1  24892  dchrisumlem2  24893  dchrmusum2  24897  dchrvmasumlem1  24898  dchrvmasum2lem  24899  dchrvmasum2if  24900  dchrvmasumiflem1  24904  dchrvmasumiflem2  24905  dchrisum0flblem1  24911  dchrisum0fno1  24914  rpvmasum2  24915  dchrisum0lem2a  24920  dchrisum0lem2  24921  dchrisum0lem3  24922  dchrisum0  24923  rplogsum  24930  mudivsum  24933  mulogsumlem  24934  mulogsum  24935  mulog2sumlem1  24937  mulog2sumlem2  24938  mulog2sumlem3  24939  vmalogdivsum2  24941  vmalogdivsum  24942  2vmadivsumlem  24943  logsqvma  24945  logsqvma2  24946  selberglem1  24948  selberglem2  24949  selberg  24951  selberg2  24954  selberg3lem1  24960  selberg4lem1  24963  selberg4  24964  pntrsumo1  24968  selbergr  24971  selberg3r  24972  selberg4r  24973  selberg34r  24974  pntsval2  24979  pntrlog2bndlem4  24983  pntrlog2bndlem5  24984  pntpbnd1  24989  pntlemk  25009  pntlemo  25010  axcgrrflx  25509  axcgrid  25511  axsegconlem1  25512  axsegconlem9  25520  ax5seglem1  25523  ax5seglem2  25524  ax5seglem9  25532  axlowdimlem16  25552  axlowdimlem17  25553  ecgrtg  25578  hashclwwlkn  26126  rusgranumwlks  26246  frghash2spot  26353  usgreghash2spotv  26356  usgreghash2spot  26359  numclwwlk4  26400  numclwwlk6  26403  sspival  26778  indsum  29215  eulerpartlemsv1  29548  eulerpartlemsf  29551  eulerpartlemgs2  29572  eulerpartlemn  29573  plymulx0  29753  signsvfn  29788  subfaclim  30227  fwddifnp1  31245  knoppndvlem6  31481  rrnmet  32598  fsumshftdOLD  33056  jm2.22  36380  jm2.23  36381  flcidc  36563  binomcxplemnn0  37370  binomcxplemdvsum  37376  binomcxplemnotnn0  37377  mccllem  38465  isumneg  38470  sumnnodd  38498  dvnmul  38634  dvnprodlem2  38638  dvnprodlem3  38639  stoweidlem37  38731  dirkertrigeqlem2  38793  dirkertrigeqlem3  38794  fourierdlem81  38881  fourierdlem83  38883  fourierdlem93  38893  fourierdlem103  38903  fourierdlem104  38904  elaa2lem  38927  etransclem23  38951  etransclem24  38952  etransclem31  38959  etransclem32  38960  etransclem35  38963  etransclem46  38974  rrxtopnfi  38983  rrndistlt  38987  sge0z  39069  sge0fsummpt  39084  sge0sup  39085  sge0resplit  39100  sge0split  39103  sge0ltfirpmpt2  39120  omeiunltfirp  39210  carageniuncllem2  39213  hoidmvlelem2  39287  hoidmvlelem3  39288  pwdif  39841  perfectALTVlem2  39967  nnsum3primesprm  40008  nnsum3primesgbe  40010  nnsum4primeseven  40018  rusgrnumwwlks  41176  fusgrhashclwwlkn  41262  frgrhash2wsp  41496  fusgreghash2wspv  41498  fusgreghash2wsp  41501  av-numclwwlk4  41539  av-numclwwlk6  41543  altgsumbc  41922  altgsumbcALT  41923  nn0sumshdiglemA  42210  nn0sumshdiglemB  42211  nn0sumshdig  42214  aacllem  42316  amgmwlem  42317
  Copyright terms: Public domain W3C validator