MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumeq2dv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumeq2dv 14383
Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
sumeq2dv.1 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
sumeq2dv (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2dv
StepHypRef Expression
1 sumeq2dv.1 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
21ralrimiva 2962 . 2 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 = 𝐶)
32sumeq2d 14382 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Σcsu 14366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-seq 12758  df-sum 14367
This theorem is referenced by:  sumeq2sdv  14384  2sumeq2dv  14385  sumeq12dv  14386  sumeq12rdv  14387  fsumf1o  14403  fsumss  14405  fsumsplit  14420  isummulc1  14441  isumdivc  14442  isumge0  14444  fsum2dlem  14448  fsumshftm  14460  fsum0diag2  14462  fsummulc1  14464  fsumdivc  14465  fsumneg  14466  fsumsub  14467  fsum2mul  14468  telfsumo2  14481  fsumparts  14484  hashiun  14500  ackbijnn  14504  binomlem  14505  binom1p  14507  incexclem  14512  incexc  14513  incexc2  14514  isum1p  14517  arisum  14536  trireciplem  14538  geoserg  14542  geo2sum  14548  mertenslem1  14560  mertenslem2  14561  mertens  14562  binomfallfaclem2  14715  binomrisefac  14717  bpolylem  14723  bpolydiflem  14729  fsumkthpow  14731  efaddlem  14767  rpnnen2lem10  14896  rpnnen2lem11  14897  fsumdvds  14973  pwp1fsum  15057  phisum  15438  pcfac  15546  ramcl  15676  lagsubg2  17595  sylow2a  17974  rrxcph  23120  trirn  23123  rrxmval  23128  rrxmet  23131  ovoliunnul  23215  ovolicc2lem4  23228  uniioombllem4  23294  vitalilem5  23321  itg1addlem4  23406  itg1addlem5  23407  itg1mulc  23411  itg10a  23417  itg1climres  23421  itgss  23518  itgeqa  23520  itgsplit  23542  elply2  23890  elplyd  23896  plyeq0lem  23904  plyaddlem1  23907  plymullem1  23908  coeeulem  23918  coeeq2  23936  coemullem  23944  coe1termlem  23952  plycjlem  23970  plyrecj  23973  dvply1  23977  elqaalem3  24014  aareccl  24019  aannenlem1  24021  taylpval  24059  dvtaylp  24062  pserdvlem2  24120  pserdv2  24122  abelthlem8  24131  abelthlem9  24132  abelth  24133  logtayl  24340  leibpi  24603  birthdaylem2  24613  amgmlem  24650  emcllem5  24660  fsumharmonic  24672  lgamcvg2  24715  ftalem5  24737  basellem3  24743  basellem8  24748  sgmval2  24803  fsumdvdscom  24845  dvdsflsumcom  24848  musum  24851  musumsum  24852  muinv  24853  fsumdvdsmul  24855  sgmppw  24856  1sgmprm  24858  chtlepsi  24865  pclogsum  24874  vmasum  24875  logfac2  24876  chpval2  24877  chpchtsum  24878  logexprlim  24884  logfacrlim2  24885  perfectlem2  24889  dchrsum2  24927  sumdchr2  24929  dchrhash  24930  dchr2sum  24932  sum2dchr  24933  pcbcctr  24935  bposlem2  24944  lgsquadlem1  25039  lgsquadlem2  25040  chebbnd1lem1  25092  rplogsumlem1  25107  rplogsumlem2  25108  rpvmasumlem  25110  dchrisumlem1  25112  dchrisumlem2  25113  dchrmusum2  25117  dchrvmasumlem1  25118  dchrvmasum2lem  25119  dchrvmasum2if  25120  dchrvmasumiflem1  25124  dchrvmasumiflem2  25125  dchrisum0flblem1  25131  dchrisum0fno1  25134  rpvmasum2  25135  dchrisum0lem2a  25140  dchrisum0lem2  25141  dchrisum0lem3  25142  dchrisum0  25143  rplogsum  25150  mudivsum  25153  mulogsumlem  25154  mulogsum  25155  mulog2sumlem1  25157  mulog2sumlem2  25158  mulog2sumlem3  25159  vmalogdivsum2  25161  vmalogdivsum  25162  2vmadivsumlem  25163  logsqvma  25165  logsqvma2  25166  selberglem1  25168  selberglem2  25169  selberg  25171  selberg2  25174  selberg3lem1  25180  selberg4lem1  25183  selberg4  25184  pntrsumo1  25188  selbergr  25191  selberg3r  25192  selberg4r  25193  selberg34r  25194  pntsval2  25199  pntrlog2bndlem4  25203  pntrlog2bndlem5  25204  pntpbnd1  25209  pntlemk  25229  pntlemo  25230  axcgrrflx  25728  axcgrid  25730  axsegconlem1  25731  axsegconlem9  25739  ax5seglem1  25742  ax5seglem2  25743  ax5seglem9  25751  axlowdimlem16  25771  axlowdimlem17  25772  ecgrtg  25797  rusgrnumwwlks  26770  fusgrhashclwwlkn  26856  frgrhash2wsp  27089  fusgreghash2wspv  27091  fusgreghash2wsp  27094  numclwwlk4  27132  numclwwlk6  27136  indsum  29908  eulerpartlemsv1  30241  eulerpartlemsf  30244  eulerpartlemgs2  30265  eulerpartlemn  30266  plymulx0  30446  signsvfn  30481  breprsuc  30501  subfaclim  30931  fwddifnp1  31967  knoppndvlem6  32203  rrnmet  33299  fsumshftdOLD  33757  jm2.22  37081  jm2.23  37082  flcidc  37264  binomcxplemnn0  38069  binomcxplemdvsum  38075  binomcxplemnotnn0  38076  mccllem  39265  isumneg  39270  sumnnodd  39298  dvnmul  39495  dvnprodlem2  39499  dvnprodlem3  39500  stoweidlem37  39591  dirkertrigeqlem2  39653  dirkertrigeqlem3  39654  fourierdlem81  39741  fourierdlem83  39743  fourierdlem93  39753  fourierdlem103  39763  fourierdlem104  39764  elaa2lem  39787  etransclem23  39811  etransclem24  39812  etransclem31  39819  etransclem32  39820  etransclem35  39823  etransclem46  39834  rrxtopnfi  39843  rrndistlt  39847  sge0z  39929  sge0fsummpt  39944  sge0sup  39945  sge0resplit  39960  sge0split  39963  sge0ltfirpmpt2  39980  omeiunltfirp  40070  carageniuncllem2  40073  hoidmvlelem2  40147  hoidmvlelem3  40148  pwdif  40830  perfectALTVlem2  40956  nnsum3primesprm  40997  nnsum3primesgbe  40999  nnsum4primeseven  41007  altgsumbc  41448  altgsumbcALT  41449  nn0sumshdiglemA  41735  nn0sumshdiglemB  41736  nn0sumshdig  41739  aacllem  41880  amgmwlem  41881
  Copyright terms: Public domain W3C validator