Theorem fsumconst 6991

Description: The sum of constant terms (k is not free in A).

Assertion

Ref	Expression
fsumconst	⊢ ((N ∈ (ℤ≥ ‘M) ⋀ A ∈ ℂ) → Σk ∈ (M...N)A = (((N − M) + 1) · A))

Distinct variable groups:   A,k   k,M   k,N

Proof of Theorem fsumconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3964	. . . . . 6 ⊢ (j = M → (M...j) = (M...M))
2	1	sumeq1d 6943	. . . . 5 ⊢ (j = M → Σk ∈ (M...j)A = Σk ∈ (M...M)A)
3		opreq1 3963	. . . . . . 7 ⊢ (j = M → (j − M) = (M − M))
4	3	opreq1d 3970	. . . . . 6 ⊢ (j = M → ((j − M) + 1) = ((M − M) + 1))
5	4	opreq1d 3970	. . . . 5 ⊢ (j = M → (((j − M) + 1) · A) = (((M − M) + 1) · A))
6	2, 5	eqeq12d 1487	. . . 4 ⊢ (j = M → (Σk ∈ (M...j)A = (((j − M) + 1) · A) ↔ Σk ∈ (M...M)A = (((M − M) + 1) · A)))
7	6	imbi2d 611	. . 3 ⊢ (j = M → ((A ∈ ℂ → Σk ∈ (M...j)A = (((j − M) + 1) · A)) ↔ (A ∈ ℂ → Σk ∈ (M...M)A = (((M − M) + 1) · A))))
8		opreq2 3964	. . . . . 6 ⊢ (j = m → (M...j) = (M...m))
9	8	sumeq1d 6943	. . . . 5 ⊢ (j = m → Σk ∈ (M...j)A = Σk ∈ (M...m)A)
10		opreq1 3963	. . . . . . 7 ⊢ (j = m → (j − M) = (m − M))
11	10	opreq1d 3970	. . . . . 6 ⊢ (j = m → ((j − M) + 1) = ((m − M) + 1))
12	11	opreq1d 3970	. . . . 5 ⊢ (j = m → (((j − M) + 1) · A) = (((m − M) + 1) · A))
13	9, 12	eqeq12d 1487	. . . 4 ⊢ (j = m → (Σk ∈ (M...j)A = (((j − M) + 1) · A) ↔ Σk ∈ (M...m)A = (((m − M) + 1) · A)))
14	13	imbi2d 611	. . 3 ⊢ (j = m → ((A ∈ ℂ → Σk ∈ (M...j)A = (((j − M) + 1) · A)) ↔ (A ∈ ℂ → Σk ∈ (M...m)A = (((m − M) + 1) · A))))
15		opreq2 3964	. . . . . 6 ⊢ (j = (m + 1) → (M...j) = (M...(m + 1)))
16	15	sumeq1d 6943	. . . . 5 ⊢ (j = (m + 1) → Σk ∈ (M...j)A = Σk ∈ (M...(m + 1))A)
17		opreq1 3963	. . . . . . 7 ⊢ (j = (m + 1) → (j − M) = ((m + 1) − M))
18	17	opreq1d 3970	. . . . . 6 ⊢ (j = (m + 1) → ((j − M) + 1) = (((m + 1) − M) + 1))
19	18	opreq1d 3970	. . . . 5 ⊢ (j = (m + 1) → (((j − M) + 1) · A) = ((((m + 1) − M) + 1) · A))
20	16, 19	eqeq12d 1487	. . . 4 ⊢ (j = (m + 1) → (Σk ∈ (M...j)A = (((j − M) + 1) · A) ↔ Σk ∈ (M...(m + 1))A = ((((m + 1) − M) + 1) · A)))
21	20	imbi2d 611	. . 3 ⊢ (j = (m + 1) → ((A ∈ ℂ → Σk ∈ (M...j)A = (((j − M) + 1) · A)) ↔ (A ∈ ℂ → Σk ∈ (M...(m + 1))A = ((((m + 1) − M) + 1) · A))))
22		opreq2 3964	. . . . . 6 ⊢ (j = N → (M...j) = (M...N))
23	22	sumeq1d 6943	. . . . 5 ⊢ (j = N → Σk ∈ (M...j)A = Σk ∈ (M...N)A)
24		opreq1 3963	. . . . . . 7 ⊢ (j = N → (j − M) = (N − M))
25	24	opreq1d 3970	. . . . . 6 ⊢ (j = N → ((j − M) + 1) = ((N − M) + 1))
26	25	opreq1d 3970	. . . . 5 ⊢ (j = N → (((j − M) + 1) · A) = (((N − M) + 1) · A))
27	23, 26	eqeq12d 1487	. . . 4 ⊢ (j = N → (Σk ∈ (M...j)A = (((j − M) + 1) · A) ↔ Σk ∈ (M...N)A = (((N − M) + 1) · A)))
28	27	imbi2d 611	. . 3 ⊢ (j = N → ((A ∈ ℂ → Σk ∈ (M...j)A = (((j − M) + 1) · A)) ↔ (A ∈ ℂ → Σk ∈ (M...N)A = (((N − M) + 1) · A))))
29		eqid 1474	. . . . . . . 8 ⊢ A = A
30	29	a1i 8	. . . . . . 7 ⊢ (k = M → A = A)
31	30	fsum1 6958	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ M ∈ ℤ) → Σk ∈ (M...M)A = A)
32	31	ancoms 436	. . . . 5 ⊢ ((M ∈ ℤ ⋀ A ∈ ℂ) → Σk ∈ (M...M)A = A)
33		subidt 5378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (M ∈ ℂ → (M − M) = 0)
34	33	opreq1d 3970	. . . . . . . . 9 ⊢ (M ∈ ℂ → ((M − M) + 1) = (0 + 1))
35		ax1cn 5252	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
36	35	addid2 5314	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
37	34, 36	syl6eq 1521	. . . . . . . 8 ⊢ (M ∈ ℂ → ((M − M) + 1) = 1)
38	37	opreq1d 3970	. . . . . . 7 ⊢ (M ∈ ℂ → (((M − M) + 1) · A) = (1 · A))
39		mulid2t 5400	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℂ → (1 · A) = A)
40	38, 39	sylan9eq 1525	. . . . . 6 ⊢ ((M ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℂ) → (((M − M) + 1) · A) = A)
41		zcnt 6097	. . . . . 6 ⊢ (M ∈ ℤ → M ∈ ℂ)
42	40, 41	sylan 448	. . . . 5 ⊢ ((M ∈ ℤ ⋀ A ∈ ℂ) → (((M − M) + 1) · A) = A)
43	32, 42	eqtr4d 1508	. . . 4 ⊢ ((M ∈ ℤ ⋀ A ∈ ℂ) → Σk ∈ (M...M)A = (((M − M) + 1) · A))
44	43	ex 373	. . 3 ⊢ (M ∈ ℤ → (A ∈ ℂ → Σk ∈ (M...M)A = (((M − M) + 1) · A)))
45		fsump1s 6966	. . . . . . . . 9 ⊢ ((m ∈ (ℤ≥ ‘M) ⋀ ∀k ∈ (M...(m + 1))A ∈ ℂ) → Σk ∈ (M...(m + 1))A = (Σk ∈ (M...m)A + [(m + 1) / k]A))
46		ax-1 4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ ℂ → (k ∈ (M...(m + 1)) → A ∈ ℂ))
47	46	r19.21aiv 1711	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ ℂ → ∀k ∈ (M...(m + 1))A ∈ ℂ)
48	45, 47	sylan2 451	. . . . . . . 8 ⊢ ((m ∈ (ℤ≥ ‘M) ⋀ A ∈ ℂ) → Σk ∈ (M...(m + 1))A = (Σk ∈ (M...m)A + [(m + 1) / k]A))
49		oprex 3978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (m + 1) ∈ V
50		ax-17 970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (j ∈ A → ∀k j ∈ A)
51	50	csbconstgf 2007	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((m + 1) ∈ V → [(m + 1) / k]A = A)
52	49, 51	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 ⊢ [(m + 1) / k]A = A
53	52	opreq2i 3967	. . . . . . . 8 ⊢ (Σk ∈ (M...m)A + [(m + 1) / k]A) = (Σk ∈ (M...m)A + A)
54	48, 53	syl6eq 1521	. . . . . . 7 ⊢ ((m ∈ (ℤ≥ ‘M) ⋀ A ∈ ℂ) → Σk ∈ (M...(m + 1))A = (Σk ∈ (M...m)A + A))
55		opreq1 3963	. . . . . . 7 ⊢ (Σk ∈ (M...m)A = (((m − M) + 1) · A) → (Σk ∈ (M...m)A + A) = ((((m − M) + 1) · A) + A))
56	54, 55	sylan9eq 1525	. . . . . 6 ⊢ (((m ∈ (ℤ≥ ‘M) ⋀ A ∈ ℂ) ⋀ Σk ∈ (M...m)A = (((m − M) + 1) · A)) → Σk ∈ (M...(m + 1))A = ((((m − M) + 1) · A) + A))
57		addsubt 5367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((m ∈ ℂ ⋀ 1 ∈ ℂ ⋀ M ∈ ℂ) → ((m + 1) − M) = ((m − M) + 1))
58	35, 57	mp3an2 903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((m ∈ ℂ ⋀ M ∈ ℂ) → ((m + 1) − M) = ((m − M) + 1))
59	58	adantr 389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((m ∈ ℂ ⋀ M ∈ ℂ) ⋀ A ∈ ℂ) → ((m + 1) − M) = ((m − M) + 1))
60	59	opreq1d 3970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((m ∈ ℂ ⋀ M ∈ ℂ) ⋀ A ∈ ℂ) → (((m + 1) − M) + 1) = (((m − M) + 1) + 1))
61	60	opreq1d 3970	. . . . . . . . 9 ⊢ (((m ∈ ℂ ⋀ M ∈ ℂ) ⋀ A ∈ ℂ) → ((((m + 1) − M) + 1) · A) = ((((m − M) + 1) + 1) · A))
62		adddirt 5302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((m − M) + 1) ∈ ℂ ⋀ 1 ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℂ) → ((((m − M) + 1) + 1) · A) = ((((m − M) + 1) · A) + (1 · A)))
63	35, 62	mp3an2 903	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((m − M) + 1) ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℂ) → ((((m − M) + 1) + 1) · A) = ((((m − M) + 1) · A) + (1 · A)))
64		subclt 5350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((m ∈ ℂ ⋀ M ∈ ℂ) → (m − M) ∈ ℂ)
65		peano2cn 5327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((m − M) ∈ ℂ → ((m − M) + 1) ∈ ℂ)
66	64, 65	syl 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((m ∈ ℂ ⋀ M ∈ ℂ) → ((m − M) + 1) ∈ ℂ)
67	63, 66	sylan 448	. . . . . . . . 9 ⊢ (((m ∈ ℂ ⋀ M ∈ ℂ) ⋀ A ∈ ℂ) → ((((m − M) + 1) + 1) · A) = ((((m − M) + 1) · A) + (1 · A)))
68	39	opreq2d 3971	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ ℂ → ((((m − M) + 1) · A) + (1 · A)) = ((((m − M) + 1) · A) + A))
69	68	adantl 388	. . . . . . . . 9 ⊢ (((m ∈ ℂ ⋀ M ∈ ℂ) ⋀ A ∈ ℂ) → ((((m − M) + 1) · A) + (1 · A)) = ((((m − M) + 1) · A) + A))
70	61, 67, 69	3eqtrd 1509	. . . . . . . 8 ⊢ (((m ∈ ℂ ⋀ M ∈ ℂ) ⋀ A ∈ ℂ) → ((((m + 1) − M) + 1) · A) = ((((m − M) + 1) · A) + A))
71		eluzelz 6368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (m ∈ (ℤ≥ ‘M) → m ∈ ℤ)
72		zcnt 6097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (m ∈ ℤ → m ∈ ℂ)
73	71, 72	syl 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (m ∈ (ℤ≥ ‘M) → m ∈ ℂ)
74		eluzel2 6369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (m ∈ (ℤ≥ ‘M) → M ∈ ℤ)
75	74, 41	syl 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (m ∈ (ℤ≥ ‘M) → M ∈ ℂ)
76	73, 75	jca 288	. . . . . . . 8 ⊢ (m ∈ (ℤ≥ ‘M) → (m ∈ ℂ ⋀ M ∈ ℂ))
77	70, 76	sylan 448	. . . . . . 7 ⊢ ((m ∈ (ℤ≥ ‘M) ⋀ A ∈ ℂ) → ((((m + 1) − M) + 1) · A) = ((((m − M) + 1) · A) + A))
78	77	adantr 389	. . . . . 6 ⊢ (((m ∈ (ℤ≥ ‘M) ⋀ A ∈ ℂ) ⋀ Σk ∈ (M...m)A = (((m − M) + 1) · A)) → ((((m + 1) − M) + 1) · A) = ((((m − M) + 1) · A) + A))
79	56, 78	eqtr4d 1508	. . . . 5 ⊢ (((m ∈ (ℤ≥ ‘M) ⋀ A ∈ ℂ) ⋀ Σk ∈ (M...m)A = (((m − M) + 1) · A)) → Σk ∈ (M...(m + 1))A = ((((m + 1) − M) + 1) · A))
80	79	exp31 376	. . . 4 ⊢ (m ∈ (ℤ≥ ‘M) → (A ∈ ℂ → (Σk ∈ (M...m)A = (((m − M) + 1) · A) → Σk ∈ (M...(m + 1))A = ((((m + 1) − M) + 1) · A))))
81	80	a2d 13	. . 3 ⊢ (m ∈ (ℤ≥ ‘M) → ((A ∈ ℂ → Σk ∈ (M...m)A = (((m − M) + 1) · A)) → (A ∈ ℂ → Σk ∈ (M...(m + 1))A = ((((m + 1) − M) + 1) · A))))
82	7, 14, 21, 28, 44, 81	uzind4 6395	. 2 ⊢ (N ∈ (ℤ≥ ‘M) → (A ∈ ℂ → Σk ∈ (M...N)A = (((N − M) + 1) · A)))
83	82	imp 350	1 ⊢ ((N ∈ (ℤ≥ ‘M) ⋀ A ∈ ℂ) → Σk ∈ (M...N)A = (((N − M) + 1) · A))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 955   ∈ wcel 957  ∀wral 1643  Vcvv 1808  [csb 1998   ‘cfv 3178  (class class class)co 3958  ℂcc 5215  0cc0 5217  1c1 5218   + caddc 5220   · cmul 5222   − cmin 5275  ℤcz 5281  ℤ_≥cuz 6362  ...cfz 6412  Σcsu 6932

This theorem is referenced by:  fsum0 6992  fnsmnt 7178  efaddlem16 7312

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-n 5883  df-n0 6057  df-z 6093  df-seq1 6258  df-shft 6291  df-uz 6363  df-fz 6413  df-seqz 6478  df-sum 6933

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