Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumconst 14566
 Description: The sum of constant terms (𝑘 is not free in 𝐴). (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
fsumconst ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((#‘𝐴) · 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem fsumconst
Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mul02 10252 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → (0 · 𝐵) = 0)
21adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 · 𝐵) = 0)
32eqcomd 2657 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 = (0 · 𝐵))
4 sumeq1 14463 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
5 sum0 14496 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
64, 5syl6eq 2701 . . . 4 (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0)
7 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (#‘𝐴) = (#‘∅))
8 hash0 13196 . . . . . 6 (#‘∅) = 0
97, 8syl6eq 2701 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (#‘𝐴) = 0)
109oveq1d 6705 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ((#‘𝐴) · 𝐵) = (0 · 𝐵))
116, 10eqeq12d 2666 . . 3 (𝐴 = ∅ → (Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((#‘𝐴) · 𝐵) ↔ 0 = (0 · 𝐵)))
123, 11syl5ibrcom 237 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((#‘𝐴) · 𝐵)))
13 eqidd 2652 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑓𝑛) → 𝐵 = 𝐵)
14 simprl 809 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
15 simprr 811 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
16 simpllr 815 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
17 simplr 807 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
18 elfznn 12408 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
19 fvconst2g 6508 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐵})‘𝑛) = 𝐵)
2017, 18, 19syl2an 493 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) → ((ℕ × {𝐵})‘𝑛) = 𝐵)
2113, 14, 15, 16, 20fsum 14495 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (seq1( + , (ℕ × {𝐵}))‘(#‘𝐴)))
22 ser1const 12897 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ) → (seq1( + , (ℕ × {𝐵}))‘(#‘𝐴)) = ((#‘𝐴) · 𝐵))
2322ad2ant2lr 799 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (seq1( + , (ℕ × {𝐵}))‘(#‘𝐴)) = ((#‘𝐴) · 𝐵))
2421, 23eqtrd 2685 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((#‘𝐴) · 𝐵))
2524expr 642 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((#‘𝐴) · 𝐵)))
2625exlimdv 1901 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((#‘𝐴) · 𝐵)))
2726expimpd 628 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((#‘𝐴) · 𝐵)))
28 fz1f1o 14485 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
2928adantr 480 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
3012, 27, 29mpjaod 395 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((#‘𝐴) · 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523  ∃wex 1744   ∈ wcel 2030  ∅c0 3948  {csn 4210   × cxp 5141  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  ℂcc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  ℕcn 11058  ...cfz 12364  seqcseq 12841  #chash 13157  Σcsu 14460 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461 This theorem is referenced by:  fsumdifsnconst  14567  o1fsum  14589  hashiun  14598  hash2iun1dif1  14600  climcndslem1  14625  climcndslem2  14626  harmonic  14635  mertenslem1  14660  sumhash  15647  cshwshashnsame  15857  lagsubg2  17702  sylow2a  18080  lebnumlem3  22809  uniioombllem4  23400  birthdaylem2  24724  basellem8  24859  0sgm  24915  musum  24962  chtleppi  24980  vmasum  24986  logfac2  24987  chpval2  24988  chpchtsum  24989  chpub  24990  logfaclbnd  24992  dchrsum2  25038  sumdchr2  25040  lgsquadlem1  25150  chebbnd1lem1  25203  chtppilimlem1  25207  dchrmusum2  25228  dchrisum0flblem1  25242  rpvmasum2  25246  dchrisum0lem2a  25251  mudivsum  25264  mulogsumlem  25265  selberglem2  25280  pntlemj  25337  rusgrnumwwlks  26941  fusgrhashclwwlkn  27043  fusgreghash2wsp  27318  numclwwlk6  27377  reprlt  30825  hashreprin  30826  reprgt  30827  hgt750lema  30863  rrndstprj2  33760  stoweidlem11  40546  stoweidlem26  40561  stoweidlem38  40573  dirkertrigeq  40636  fourierdlem73  40714  etransclem32  40801  rrndistlt  40828  sge0rpcpnf  40956  hoiqssbllem2  41158  nn0mulfsum  42743  amgmlemALT  42877
 Copyright terms: Public domain W3C validator