Theorem fsumconst 14310

Description: The sum of constant terms (𝑘 is not free in 𝐴). (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fsumconst	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ((#‘𝐴) · 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem fsumconst

Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul02 10065	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (0 · 𝐵) = 0)
2	1	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 · 𝐵) = 0)
3	2	eqcomd 2615	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 = (0 · 𝐵))
4		sumeq1 14213	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
5		sum0 14245	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
6	4, 5	syl6eq 2659	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
7		fveq2 6088	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (#‘𝐴) = (#‘∅))
8		hash0 12971	. . . . . 6 ⊢ (#‘∅) = 0
9	7, 8	syl6eq 2659	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (#‘𝐴) = 0)
10	9	oveq1d 6542	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((#‘𝐴) · 𝐵) = (0 · 𝐵))
11	6, 10	eqeq12d 2624	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ((#‘𝐴) · 𝐵) ↔ 0 = (0 · 𝐵)))
12	3, 11	syl5ibrcom 235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ((#‘𝐴) · 𝐵)))
13		eqidd 2610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → 𝐵 = 𝐵)
14		simprl 789	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
15		simprr 791	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
16		simpllr 794	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
17		simplr 787	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
18		elfznn 12196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
19		fvconst2g 6350	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐵})‘𝑛) = 𝐵)
20	17, 18, 19	syl2an 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) → ((ℕ × {𝐵})‘𝑛) = 𝐵)
21	13, 14, 15, 16, 20	fsum 14244	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (seq1( + , (ℕ × {𝐵}))‘(#‘𝐴)))
22		ser1const 12674	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ) → (seq1( + , (ℕ × {𝐵}))‘(#‘𝐴)) = ((#‘𝐴) · 𝐵))
23	22	ad2ant2lr 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (seq1( + , (ℕ × {𝐵}))‘(#‘𝐴)) = ((#‘𝐴) · 𝐵))
24	21, 23	eqtrd 2643	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ((#‘𝐴) · 𝐵))
25	24	expr 640	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ((#‘𝐴) · 𝐵)))
26	25	exlimdv 1847	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ((#‘𝐴) · 𝐵)))
27	26	expimpd 626	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ((#‘𝐴) · 𝐵)))
28		fz1f1o 14234	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
29	28	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
30	12, 27, 29	mpjaod 394	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ((#‘𝐴) · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 381   ∧ wa 382   = wceq 1474  ∃wex 1694   ∈ wcel 1976  ∅c0 3873  {csn 4124   × cxp 5026  –1-1-onto→wf1o 5789  ‘cfv 5790  (class class class)co 6527  Fincfn 7818  ℂcc 9790  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  ℕcn 10867  ...cfz 12152  seqcseq 12618  #chash 12934  Σcsu 14210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-sum 14211

This theorem is referenced by:  o1fsum  14332  hashiun  14341  climcndslem1  14366  climcndslem2  14367  harmonic  14376  mertenslem1  14401  sumhash  15384  cshwshashnsame  15594  lagsubg2  17424  sylow2a  17803  lebnumlem3  22501  uniioombllem4  23077  birthdaylem2  24396  basellem8  24531  0sgm  24587  musum  24634  chtleppi  24652  vmasum  24658  logfac2  24659  chpval2  24660  chpchtsum  24661  chpub  24662  logfaclbnd  24664  dchrsum2  24710  sumdchr2  24712  lgsquadlem1  24822  chebbnd1lem1  24875  chtppilimlem1  24879  dchrmusum2  24900  dchrisum0flblem1  24914  rpvmasum2  24918  dchrisum0lem2a  24923  mudivsum  24936  mulogsumlem  24937  selberglem2  24952  pntlemj  25009  hashclwwlkn  26129  rusgranumwlks  26249  frghash2spot  26356  usgreghash2spotv  26359  usgreghash2spot  26362  numclwwlk6  26406  rrndstprj2  32603  stoweidlem11  38708  stoweidlem26  38723  stoweidlem38  38735  dirkertrigeq  38798  fourierdlem73  38876  etransclem32  38963  rrndistlt  38990  sge0rpcpnf  39118  hoiqssbllem2  39317  rusgrnumwwlks  41179  fusgrhashclwwlkn  41265  frgrhash2wsp  41499  fusgreghash2wspv  41501  fusgreghash2wsp  41504  av-numclwwlk6  41546  nn0mulfsum  42218  amgmlemALT  42321