MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashfz 13151
Description: Value of the numeric cardinality of a nonempty integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfz (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (#‘(𝐴...𝐵)) = ((𝐵𝐴) + 1))

Proof of Theorem hashfz
StepHypRef Expression
1 eluzel2 11636 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 eluzelz 11641 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 1z 11352 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
4 zsubcl 11364 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 − 𝐴) ∈ ℤ)
53, 1, 4sylancr 694 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (1 − 𝐴) ∈ ℤ)
6 fzen 12297 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℤ) → (𝐴...𝐵) ≈ ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))))
71, 2, 5, 6syl3anc 1323 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴...𝐵) ≈ ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))))
81zcnd 11427 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 ax-1cn 9939 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
10 pncan3 10234 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + (1 − 𝐴)) = 1)
118, 9, 10sylancl 693 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴 + (1 − 𝐴)) = 1)
122zcnd 11427 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
13 1cnd 10001 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 1 ∈ ℂ)
1412, 13, 8addsub12d 10360 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 + (1 − 𝐴)) = (1 + (𝐵𝐴)))
1512, 8subcld 10337 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
16 addcom 10167 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (𝐵𝐴)) = ((𝐵𝐴) + 1))
179, 15, 16sylancr 694 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (1 + (𝐵𝐴)) = ((𝐵𝐴) + 1))
1814, 17eqtrd 2660 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 + (1 − 𝐴)) = ((𝐵𝐴) + 1))
1911, 18oveq12d 6623 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))) = (1...((𝐵𝐴) + 1)))
207, 19breqtrd 4644 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴...𝐵) ≈ (1...((𝐵𝐴) + 1)))
21 hasheni 13073 . . 3 ((𝐴...𝐵) ≈ (1...((𝐵𝐴) + 1)) → (#‘(𝐴...𝐵)) = (#‘(1...((𝐵𝐴) + 1))))
2220, 21syl 17 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (#‘(𝐴...𝐵)) = (#‘(1...((𝐵𝐴) + 1))))
23 uznn0sub 11663 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵𝐴) ∈ ℕ0)
24 peano2nn0 11278 . . 3 ((𝐵𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝐵𝐴) + 1) ∈ ℕ0)
25 hashfz1 13071 . . 3 (((𝐵𝐴) + 1) ∈ ℕ0 → (#‘(1...((𝐵𝐴) + 1))) = ((𝐵𝐴) + 1))
2623, 24, 253syl 18 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (#‘(1...((𝐵𝐴) + 1))) = ((𝐵𝐴) + 1))
2722, 26eqtrd 2660 1 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (#‘(𝐴...𝐵)) = ((𝐵𝐴) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1992   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  cen 7897  cc 9879  1c1 9882   + caddc 9884  cmin 10211  0cn0 11237  cz 11322  cuz 11631  ...cfz 12265  #chash 13054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-hash 13055
This theorem is referenced by:  fzsdom2  13152  hashfzo  13153  hashfzp1  13155  hashfz0  13156  0sgmppw  24818  logfaclbnd  24842  gausslemma2dlem5  24991  ballotlem2  30323  subfacp1lem5  30866  fzisoeu  38965  stoweidlem11  39522  stoweidlem26  39537
  Copyright terms: Public domain W3C validator