Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem11 40749
Description: This lemma is used to prove that there is a function 𝑔 as in the proof of [BrosowskiDeutsh] p. 92 (at the top of page 92): this lemma proves that g(t) < ( j + 1 / 3 ) * ε. Here 𝐸 is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem11.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
stoweidlem11.2 (𝜑𝑡𝑇)
stoweidlem11.3 (𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁))
stoweidlem11.4 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ)
stoweidlem11.5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1)
stoweidlem11.6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
stoweidlem11.7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem11.8 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem11 (𝜑 → ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗   𝑡,𝑖,𝐸   𝑖,𝑁,𝑡   𝜑,𝑖   𝑡,𝑇   𝑡,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑗)   𝑇(𝑖,𝑗)   𝐸(𝑗)   𝑁(𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem stoweidlem11
StepHypRef Expression
1 stoweidlem11.2 . . 3 (𝜑𝑡𝑇)
2 sumex 14637 . . 3 Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ∈ V
3 eqid 2760 . . . 4 (𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))
43fvmpt2 6454 . . 3 ((𝑡𝑇 ∧ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ∈ V) → ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))
51, 2, 4sylancl 697 . 2 (𝜑 → ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))
6 fzfid 12986 . . . 4 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
7 stoweidlem11.7 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
87rpred 12085 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
98adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℝ)
10 stoweidlem11.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ)
111adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑡𝑇)
1210, 11ffvelrnd 6524 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ)
139, 12remulcld 10282 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ∈ ℝ)
146, 13fsumrecl 14684 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ∈ ℝ)
15 stoweidlem11.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁))
16 elfzuz 12551 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘1))
18 eluz2 11905 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗))
1917, 18sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗))
2019simp2d 1138 . . . . . 6 (𝜑𝑗 ∈ ℤ)
2120zred 11694 . . . . 5 (𝜑𝑗 ∈ ℝ)
228, 21remulcld 10282 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 · 𝑗) ∈ ℝ)
23 stoweidlem11.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2423nnred 11247 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
2524, 21resubcld 10670 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑗) ∈ ℝ)
26 1red 10267 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2725, 26readdcld 10281 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑗) + 1) ∈ ℝ)
288, 23nndivred 11281 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 / 𝑁) ∈ ℝ)
298, 28remulcld 10282 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℝ)
3027, 29remulcld 10282 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))) ∈ ℝ)
3122, 30readdcld 10281 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑗) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))) ∈ ℝ)
32 3re 11306 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
34 3ne0 11327 . . . . . . 7 3 ≠ 0
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 3 ≠ 0)
3633, 35rereccld 11064 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
3721, 36readdcld 10281 . . . 4 (𝜑 → (𝑗 + (1 / 3)) ∈ ℝ)
3837, 8remulcld 10282 . . 3 (𝜑 → ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
39 fzfid 12986 . . . . . 6 (𝜑 → (0...(𝑗 − 1)) ∈ Fin)
408adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → 𝐸 ∈ ℝ)
41 elfzelz 12555 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
42 peano2zm 11632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
4315, 41, 423syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
4423nnzd 11693 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4521, 26resubcld 10670 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
4621lem1d 11169 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑗 − 1) ≤ 𝑗)
47 elfzuz3 12552 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑗))
48 eluzle 11912 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑗𝑁)
4915, 47, 483syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑗𝑁)
5045, 21, 24, 46, 49letrd 10406 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗 − 1) ≤ 𝑁)
51 eluz2 11905 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑗 − 1)) ↔ ((𝑗 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ≤ 𝑁))
5243, 44, 50, 51syl3anbrc 1429 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑗 − 1)))
53 fzss2 12594 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑗 − 1)) → (0...(𝑗 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0...(𝑗 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
5554sselda 3744 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
5655, 12syldan 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ)
5740, 56remulcld 10282 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ∈ ℝ)
5839, 57fsumrecl 14684 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ∈ ℝ)
5958, 30readdcld 10281 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))) ∈ ℝ)
6021ltm1d 11168 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑗 − 1) < 𝑗)
61 fzdisj 12581 . . . . . . 7 ((𝑗 − 1) < 𝑗 → ((0...(𝑗 − 1)) ∩ (𝑗...𝑁)) = ∅)
6260, 61syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((0...(𝑗 − 1)) ∩ (𝑗...𝑁)) = ∅)
63 fzssp1 12597 . . . . . . . . . 10 (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...((𝑁 − 1) + 1))
6423nncnd 11248 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
65 1cnd 10268 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
6664, 65npcand 10608 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
6766oveq2d 6830 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0...((𝑁 − 1) + 1)) = (0...𝑁))
6863, 67syl5sseq 3794 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
69 1zzd 11620 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
70 fzsubel 12590 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
7169, 44, 20, 69, 70syl22anc 1478 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
7215, 71mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑗 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1)))
73 1m1e0 11301 . . . . . . . . . . 11 (1 − 1) = 0
7473oveq1i 6824 . . . . . . . . . 10 ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1))
7572, 74syl6eleq 2849 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑗 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
7668, 75sseldd 3745 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑗 − 1) ∈ (0...𝑁))
77 fzsplit 12580 . . . . . . . 8 ((𝑗 − 1) ∈ (0...𝑁) → (0...𝑁) = ((0...(𝑗 − 1)) ∪ (((𝑗 − 1) + 1)...𝑁)))
7876, 77syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑁) = ((0...(𝑗 − 1)) ∪ (((𝑗 − 1) + 1)...𝑁)))
7920zcnd 11695 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑗 ∈ ℂ)
8079, 65npcand 10608 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
8180oveq1d 6829 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑗 − 1) + 1)...𝑁) = (𝑗...𝑁))
8281uneq2d 3910 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0...(𝑗 − 1)) ∪ (((𝑗 − 1) + 1)...𝑁)) = ((0...(𝑗 − 1)) ∪ (𝑗...𝑁)))
8378, 82eqtrd 2794 . . . . . 6 (𝜑 → (0...𝑁) = ((0...(𝑗 − 1)) ∪ (𝑗...𝑁)))
847rpcnd 12087 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
8584adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℂ)
8612recnd 10280 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ∈ ℂ)
8785, 86mulcld 10272 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ∈ ℂ)
8862, 83, 6, 87fsumsplit 14690 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) + Σ𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡))))
89 fzfid 12986 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑗...𝑁) ∈ Fin)
908adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℝ)
91 0zd 11601 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
92 0red 10253 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
93 0le1 10763 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≤ 1
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ 1)
9519simp3d 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≤ 𝑗)
9692, 26, 21, 94, 95letrd 10406 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ 𝑗)
97 eluz2 11905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑗))
9891, 20, 96, 97syl3anbrc 1429 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘0))
99 fzss1 12593 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ‘0) → (𝑗...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
101100sselda 3744 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
102101, 10syldan 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ)
1031adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡𝑇)
104102, 103ffvelrnd 6524 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ)
10590, 104remulcld 10282 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ∈ ℝ)
10689, 105fsumrecl 14684 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ∈ ℝ)
107 eluzfz2 12562 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑁 ∈ (𝑗...𝑁))
108 ne0i 4064 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (𝑗...𝑁) → (𝑗...𝑁) ≠ ∅)
10915, 47, 107, 1084syl 19 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑗...𝑁) ≠ ∅)
11023adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
11190, 110nndivred 11281 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐸 / 𝑁) ∈ ℝ)
11290, 111remulcld 10282 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℝ)
113 stoweidlem11.6 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
1147rpgt0d 12088 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝐸)
115114adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 < 𝐸)
116 ltmul2 11086 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → (((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ↔ (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) < (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))))
117104, 111, 90, 115, 116syl112anc 1481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ↔ (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) < (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))))
118113, 117mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) < (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))
11989, 109, 105, 112, 118fsumlt 14751 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) < Σ𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)(𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))
12023nnne0d 11277 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ≠ 0)
12184, 64, 120divcld 11013 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 / 𝑁) ∈ ℂ)
12284, 121mulcld 10272 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℂ)
123 fsumconst 14741 . . . . . . . . 9 (((𝑗...𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)(𝐸 · (𝐸 / 𝑁)) = ((♯‘(𝑗...𝑁)) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))))
12489, 122, 123syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)(𝐸 · (𝐸 / 𝑁)) = ((♯‘(𝑗...𝑁)) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))))
125 hashfz 13426 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑗) → (♯‘(𝑗...𝑁)) = ((𝑁𝑗) + 1))
12615, 47, 1253syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘(𝑗...𝑁)) = ((𝑁𝑗) + 1))
127126oveq1d 6829 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘(𝑗...𝑁)) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))) = (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))))
128124, 127eqtrd 2794 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)(𝐸 · (𝐸 / 𝑁)) = (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))))
129119, 128breqtrd 4830 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) < (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))))
130106, 30, 58, 129ltadd2dd 10408 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) + Σ𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡))) < (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))))
13188, 130eqbrtrd 4826 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) < (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))))
132 stoweidlem11.5 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1)
13355, 132syldan 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1)
134 1red 10267 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
135114adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → 0 < 𝐸)
136 lemul2 11088 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → (((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1 ↔ (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ≤ (𝐸 · 1)))
13756, 134, 40, 135, 136syl112anc 1481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → (((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1 ↔ (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ≤ (𝐸 · 1)))
138133, 137mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ≤ (𝐸 · 1))
13984mulid1d 10269 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 · 1) = 𝐸)
140139adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → (𝐸 · 1) = 𝐸)
141138, 140breqtrd 4830 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ≤ 𝐸)
14239, 57, 40, 141fsumle 14750 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))𝐸)
143 fsumconst 14741 . . . . . . . 8 (((0...(𝑗 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))𝐸 = ((♯‘(0...(𝑗 − 1))) · 𝐸))
14439, 84, 143syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))𝐸 = ((♯‘(0...(𝑗 − 1))) · 𝐸))
145 0z 11600 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
146 1e0p1 11764 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (0 + 1)
147146fveq2i 6356 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ‘1) = (ℤ‘(0 + 1))
14817, 147syl6eleq 2849 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
149 eluzp1m1 11923 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(0 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0))
150145, 148, 149sylancr 698 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0))
151 hashfz 13426 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0) → (♯‘(0...(𝑗 − 1))) = (((𝑗 − 1) − 0) + 1))
152150, 151syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘(0...(𝑗 − 1))) = (((𝑗 − 1) − 0) + 1))
15379, 65subcld 10604 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗 − 1) ∈ ℂ)
154153subid1d 10593 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑗 − 1) − 0) = (𝑗 − 1))
155154oveq1d 6829 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑗 − 1) − 0) + 1) = ((𝑗 − 1) + 1))
156152, 155, 803eqtrd 2798 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(0...(𝑗 − 1))) = 𝑗)
157156oveq1d 6829 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘(0...(𝑗 − 1))) · 𝐸) = (𝑗 · 𝐸))
15879, 84mulcomd 10273 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑗 · 𝐸) = (𝐸 · 𝑗))
159144, 157, 1583eqtrd 2798 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))𝐸 = (𝐸 · 𝑗))
160142, 159breqtrd 4830 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ≤ (𝐸 · 𝑗))
16158, 22, 30, 160leadd1dd 10853 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))) ≤ ((𝐸 · 𝑗) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))))
16214, 59, 31, 131, 161ltletrd 10409 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) < ((𝐸 · 𝑗) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))))
1638, 8remulcld 10282 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 · 𝐸) ∈ ℝ)
16422, 163readdcld 10281 . . . 4 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑗) + (𝐸 · 𝐸)) ∈ ℝ)
16564, 79subcld 10604 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑗) ∈ ℂ)
166165, 65addcld 10271 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁𝑗) + 1) ∈ ℂ)
16784, 166, 121mul12d 10457 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁))) = (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))))
168167oveq2d 6830 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑗) + (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁)))) = ((𝐸 · 𝑗) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))))
16927, 28remulcld 10282 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℝ)
1708, 169remulcld 10282 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁))) ∈ ℝ)
171166, 84, 64, 120div12d 11049 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁)) = (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁)))
17226, 21resubcld 10670 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 − 𝑗) ∈ ℝ)
173 elfzle1 12557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝑗)
17415, 173syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ≤ 𝑗)
17526, 21suble0d 10830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((1 − 𝑗) ≤ 0 ↔ 1 ≤ 𝑗))
176174, 175mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 − 𝑗) ≤ 0)
177172, 92, 24, 176leadd2dd 10854 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 + (1 − 𝑗)) ≤ (𝑁 + 0))
17864, 65, 79addsub12d 10627 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 + (1 − 𝑗)) = (1 + (𝑁𝑗)))
17965, 165addcomd 10450 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 + (𝑁𝑗)) = ((𝑁𝑗) + 1))
180178, 179eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 + (1 − 𝑗)) = ((𝑁𝑗) + 1))
18164addid1d 10448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 + 0) = 𝑁)
182177, 180, 1813brtr3d 4835 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁𝑗) + 1) ≤ 𝑁)
18323nngt0d 11276 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 𝑁)
184 lediv1 11100 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁𝑗) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝑁𝑗) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁) ≤ (𝑁 / 𝑁)))
18527, 24, 24, 183, 184syl112anc 1481 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑁𝑗) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁) ≤ (𝑁 / 𝑁)))
186182, 185mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁) ≤ (𝑁 / 𝑁))
18764, 120dividd 11011 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 / 𝑁) = 1)
188186, 187breqtrd 4830 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁) ≤ 1)
18927, 23nndivred 11281 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
190189, 26, 7lemul2d 12129 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁) ≤ 1 ↔ (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁)) ≤ (𝐸 · 1)))
191188, 190mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁)) ≤ (𝐸 · 1))
192191, 139breqtrd 4830 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁)) ≤ 𝐸)
193171, 192eqbrtrd 4826 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁)) ≤ 𝐸)
194169, 8, 7lemul2d 12129 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁)) ≤ 𝐸 ↔ (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁))) ≤ (𝐸 · 𝐸)))
195193, 194mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁))) ≤ (𝐸 · 𝐸))
196170, 163, 22, 195leadd2dd 10854 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑗) + (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁)))) ≤ ((𝐸 · 𝑗) + (𝐸 · 𝐸)))
197168, 196eqbrtrrd 4828 . . . 4 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑗) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))) ≤ ((𝐸 · 𝑗) + (𝐸 · 𝐸)))
19884, 79mulcomd 10273 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 · 𝑗) = (𝑗 · 𝐸))
199198oveq1d 6829 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑗) + (𝐸 · 𝐸)) = ((𝑗 · 𝐸) + (𝐸 · 𝐸)))
20079, 84, 84adddird 10277 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑗 + 𝐸) · 𝐸) = ((𝑗 · 𝐸) + (𝐸 · 𝐸)))
201199, 200eqtr4d 2797 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑗) + (𝐸 · 𝐸)) = ((𝑗 + 𝐸) · 𝐸))
20221, 8readdcld 10281 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 + 𝐸) ∈ ℝ)
203 stoweidlem11.8 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
2048, 36, 21, 203ltadd2dd 10408 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 + 𝐸) < (𝑗 + (1 / 3)))
205202, 37, 7, 204ltmul1dd 12140 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑗 + 𝐸) · 𝐸) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
206201, 205eqbrtrd 4826 . . . 4 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑗) + (𝐸 · 𝐸)) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
20731, 164, 38, 197, 206lelttrd 10407 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑗) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
20814, 31, 38, 162, 207lttrd 10410 . 2 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
2095, 208eqbrtrd 4826 1 (𝜑 → ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  Vcvv 3340  cun 3713  cin 3714  wss 3715  c0 4058   class class class wbr 4804  cmpt 4881  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   < clt 10286  cle 10287  cmin 10478   / cdiv 10896  cn 11232  3c3 11283  cz 11589  cuz 11899  +crp 12045  ...cfz 12539  chash 13331  Σcsu 14635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-ico 12394  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636
This theorem is referenced by:  stoweidlem34  40772
  Copyright terms: Public domain W3C validator