Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fpos 23374
 Description: The positive part of a simple function is simple. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1fpos.1 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))
Assertion
Ref Expression
i1fpos (𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1)
Distinct variable group:   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem i1fpos
StepHypRef Expression
1 i1fpos.1 . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))
2 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
32biantrurd 529 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))))
4 i1ff 23344 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
54ffvelrnda 6316 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
65biantrurd 529 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥))))
7 elrege0 12217 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
86, 7syl6bbr 278 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
94adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
10 ffn 6004 . . . . . . 7 (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
11 elpreima 6294 . . . . . . 7 (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))))
129, 10, 113syl 18 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))))
133, 8, 123bitr4d 300 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞))))
1413ifbid 4085 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0) = if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))
1514mpteq2dva 4709 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)))
161, 15syl5eq 2672 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)))
17 i1fima 23346 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 “ (0[,)+∞)) ∈ dom vol)
18 eqid 2626 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))
1918i1fres 23373 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐹 “ (0[,)+∞)) ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
2017, 19mpdan 701 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
2116, 20eqeltrd 2704 1 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  ifcif 4063   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678  ◡ccnv 5078  dom cdm 5079   “ cima 5082   Fn wfn 5845  ⟶wf 5846  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  ℝcr 9880  0cc0 9881  +∞cpnf 10016   ≤ cle 10020  [,)cico 12116  volcvol 23134  ∫1citg1 23285 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12118  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-sum 14346  df-rest 15999  df-topgen 16020  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-cmp 21095  df-ovol 23135  df-vol 23136  df-mbf 23289  df-itg1 23290 This theorem is referenced by:  i1fposd  23375  i1fibl  23475  itg2addnclem  33079  ftc1anclem5  33107
 Copyright terms: Public domain W3C validator