Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iocopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocopn 40249
Description: A left open right closed interval is an open set of the standard topology restricted to an interval that contains the original interval and has the same upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iocopn.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
iocopn.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
iocopn.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
iocopn.k 𝐾 = (topGen‘ran (,))
iocopn.j 𝐽 = (𝐾t (𝐴(,]𝐵))
iocopn.alec (𝜑𝐴𝐶)
iocopn.6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iocopn (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem iocopn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iocopn.k . . . . 5 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2 retop 22766 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
31, 2eqeltri 2835 . . . 4 𝐾 ∈ Top
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Top)
5 ovexd 6843 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ∈ V)
6 iooretop 22770 . . . . 5 (𝐶(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
76, 1eleqtrri 2838 . . . 4 (𝐶(,)+∞) ∈ 𝐾
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐶(,)+∞) ∈ 𝐾)
9 elrestr 16291 . . 3 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐵) ∈ V ∧ (𝐶(,)+∞) ∈ 𝐾) → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ∈ (𝐾t (𝐴(,]𝐵)))
104, 5, 8, 9syl3anc 1477 . 2 (𝜑 → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ∈ (𝐾t (𝐴(,]𝐵)))
11 iocopn.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
1211adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
13 iocopn.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1413rexrd 10281 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1514adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16 elinel1 3942 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
17 elioore 12398 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1918rexrd 10281 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2019adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21 pnfxr 10284 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
2221a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → +∞ ∈ ℝ*)
2316adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
24 ioogtlb 40220 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞)) → 𝐶 < 𝑥)
2512, 22, 23, 24syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐶 < 𝑥)
26 iocopn.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2726adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28 elinel2 3943 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
2928adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
30 iocleub 40228 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
3127, 15, 29, 30syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥𝐵)
3212, 15, 20, 25, 31eliocd 40233 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵))
3311adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
3421a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
35 iocopn.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
36 iocssre 12446 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶(,]𝐵) ⊆ ℝ)
3711, 35, 36syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ⊆ ℝ)
3837sselda 3744 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3914adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
40 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵))
41 iocgtlb 40227 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 < 𝑥)
4233, 39, 40, 41syl3anc 1477 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 < 𝑥)
4338ltpnfd 12148 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 < +∞)
4433, 34, 38, 42, 43eliood 40223 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
4526adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4638rexrd 10281 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
47 iocopn.alec . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐶)
4847adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴𝐶)
4945, 33, 46, 48, 42xrlelttrd 12184 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
50 iocleub 40228 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
5133, 39, 40, 50syl3anc 1477 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
5245, 39, 46, 49, 51eliocd 40233 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
5344, 52elind 3941 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
5432, 53impbida 913 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)))
5554eqrdv 2758 . 2 (𝜑 → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) = (𝐶(,]𝐵))
56 iocopn.j . . . 4 𝐽 = (𝐾t (𝐴(,]𝐵))
5756eqcomi 2769 . . 3 (𝐾t (𝐴(,]𝐵)) = 𝐽
5857a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐾t (𝐴(,]𝐵)) = 𝐽)
5910, 55, 583eltr3d 2853 1 (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  cin 3714  wss 3715   class class class wbr 4804  ran crn 5267  cfv 6049  (class class class)co 6813  cr 10127  +∞cpnf 10263  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  (,)cioo 12368  (,]cioc 12369  t crest 16283  topGenctg 16300  Topctop 20900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-rest 16285  df-topgen 16306  df-top 20901  df-bases 20952
This theorem is referenced by:  fouriersw  40951
  Copyright terms: Public domain W3C validator