Theorem xrlelttrd 11935

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrlelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrlelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrlelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrlelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 11931	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1323	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 714	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4613  ℝ^*cxr 10017   < clt 10018   ≤ cle 10019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024

This theorem is referenced by:  xlt2add  12033  ixxub  12138  elioc2  12178  elicc2  12180  limsupgre  14146  xrsdsreclblem  19711  mnfnei  20935  blgt0  22114  xblss2ps  22116  xblss2  22117  metustexhalf  22271  tgioo  22507  blcvx  22509  xrge0tsms  22545  metdcnlem  22547  metdscnlem  22566  ioombl  23240  uniioombllem1  23255  dvferm2lem  23653  dvlip2  23662  ftc1a  23704  coe1mul3  23763  ply1remlem  23826  pserulm  24080  isblo3i  27502  xrge0infss  29366  iocinioc2  29382  xrge0tsmsd  29567  sibfinima  30179  heicant  33073  itg2gt0cn  33094  ftc1anclem7  33120  ftc1anc  33122  idomrootle  37251  supxrgelem  39014  supxrge  39015  xralrple2  39031  infxr  39044  infleinflem2  39048  xrralrecnnle  39063  unb2ltle  39103  eliocre  39142  iocopn  39154  ge0lere  39167  iccdificc  39174  limsupre  39274  limsuppnflem  39343  limsupre3lem  39365  fourierdlem27  39655  sge0isum  39948  meassre  39998  meaiuninclem  40001  omessre  40028  omeiunltfirp  40037  sge0hsphoire  40107  hoidmv1lelem1  40109  hoidmv1lelem2  40110  hoidmv1lelem3  40111  hoidmvlelem1  40113  hoidmvlelem4  40116  pimiooltgt  40225  pimincfltioc  40230  preimaleiinlt  40235