Theorem xrlelttrd 12176

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrlelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrlelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrlelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrlelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 12172	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1473	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 717	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2131   class class class wbr 4796  ℝ^*cxr 10257   < clt 10258   ≤ cle 10259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264

This theorem is referenced by:  xlt2add  12275  ixxub  12381  elioc2  12421  elicc2  12423  limsupgre  14403  xrsdsreclblem  19986  mnfnei  21219  blgt0  22397  xblss2ps  22399  xblss2  22400  metustexhalf  22554  tgioo  22792  blcvx  22794  xrge0tsms  22830  metdcnlem  22832  metdscnlem  22851  ioombl  23525  uniioombllem1  23541  dvferm2lem  23940  dvlip2  23949  ftc1a  23991  coe1mul3  24050  ply1remlem  24113  pserulm  24367  isblo3i  27957  xrge0infss  29826  iocinioc2  29842  xrge0tsmsd  30086  sibfinima  30702  heicant  33749  itg2gt0cn  33770  ftc1anclem7  33796  ftc1anc  33798  idomrootle  38267  supxrgelem  40043  supxrge  40044  xralrple2  40060  infxr  40073  infleinflem2  40077  xrralrecnnle  40092  unb2ltle  40132  eliocre  40229  iocopn  40241  ge0lere  40254  iccdificc  40261  limsupre  40368  limsuppnflem  40437  limsupre3lem  40459  xlimmnfv  40555  fourierdlem27  40846  sge0isum  41139  meassre  41189  meaiuninclem  41192  omessre  41222  omeiunltfirp  41231  sge0hsphoire  41301  hoidmv1lelem1  41303  hoidmv1lelem2  41304  hoidmv1lelem3  41305  hoidmvlelem1  41307  hoidmvlelem4  41310  pimiooltgt  41419  pimincfltioc  41424  preimaleiinlt  41429