MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip2i 27523
Description: Equation 6.48 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 26-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ip2i.8 𝐴𝑋
ip2i.9 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
ip2i ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (2 · (𝐴𝑃𝐵))

Proof of Theorem ip2i
StepHypRef Expression
1 ip1i.9 . . . . . 6 𝑈 ∈ CPreHilOLD
21phnvi 27511 . . . . 5 𝑈 ∈ NrmCVec
3 ip2i.8 . . . . . 6 𝐴𝑋
4 ip1i.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5 ip1i.2 . . . . . . 7 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
64, 5nvgcl 27315 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑋) → (𝐴𝐺𝐴) ∈ 𝑋)
72, 3, 3, 6mp3an 1421 . . . . 5 (𝐴𝐺𝐴) ∈ 𝑋
8 ip2i.9 . . . . 5 𝐵𝑋
9 ip1i.7 . . . . . 6 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
104, 9dipcl 27407 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
112, 7, 8, 10mp3an 1421 . . . 4 ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ
1211addid1i 10168 . . 3 (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + 0) = ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵)
13 ip1i.4 . . . . . . . 8 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
14 eqid 2626 . . . . . . . 8 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
154, 5, 13, 14nvrinv 27346 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec𝑈))
162, 3, 15mp2an 707 . . . . . 6 (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec𝑈)
1716oveq1i 6615 . . . . 5 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((0vec𝑈)𝑃𝐵)
184, 14, 9dip0l 27413 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → ((0vec𝑈)𝑃𝐵) = 0)
192, 8, 18mp2an 707 . . . . 5 ((0vec𝑈)𝑃𝐵) = 0
2017, 19eqtri 2648 . . . 4 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = 0
2120oveq2i 6616 . . 3 (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵)) = (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + 0)
22 df-2 11024 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
2322oveq1i 6615 . . . . 5 (2𝑆𝐴) = ((1 + 1)𝑆𝐴)
24 ax-1cn 9939 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
2524, 24, 33pm3.2i 1237 . . . . . . 7 (1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)
264, 5, 13nvdir 27326 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + 1)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
272, 25, 26mp2an 707 . . . . . 6 ((1 + 1)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴))
284, 13nvsid 27322 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
292, 3, 28mp2an 707 . . . . . . 7 (1𝑆𝐴) = 𝐴
3029, 29oveq12i 6617 . . . . . 6 ((1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝐴)
3127, 30eqtri 2648 . . . . 5 ((1 + 1)𝑆𝐴) = (𝐴𝐺𝐴)
3223, 31eqtri 2648 . . . 4 (2𝑆𝐴) = (𝐴𝐺𝐴)
3332oveq1i 6615 . . 3 ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵)
3412, 21, 333eqtr4ri 2659 . 2 ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵))
354, 5, 13, 9, 1, 3, 3, 8ip1i 27522 . 2 (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵)) = (2 · (𝐴𝑃𝐵))
3634, 35eqtri 2648 1 ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (2 · (𝐴𝑃𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886  -cneg 10212  2c2 11015  NrmCVeccnv 27279   +𝑣 cpv 27280  BaseSetcba 27281   ·𝑠OLD cns 27282  0veccn0v 27283  ·𝑖OLDcdip 27395  CPreHilOLDccphlo 27507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-sum 14346  df-grpo 27187  df-gid 27188  df-ginv 27189  df-ablo 27239  df-vc 27254  df-nv 27287  df-va 27290  df-ba 27291  df-sm 27292  df-0v 27293  df-nmcv 27295  df-dip 27396  df-ph 27508
This theorem is referenced by:  ipdirilem  27524
  Copyright terms: Public domain W3C validator