MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addid1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addid1i 10167
Description: 0 is an additive identity. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mul.1 𝐴 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
addid1i (𝐴 + 0) = 𝐴

Proof of Theorem addid1i
StepHypRef Expression
1 mul.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 addid1 10160 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
31, 2ax-mp 5 1 (𝐴 + 0) = 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880   + caddc 9883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-ltxr 10023
This theorem is referenced by:  1p0e1  11077  9p1e10  11440  num0u  11452  numnncl2  11468  dec10OLD  11499  decrmanc  11520  decaddi  11523  decaddci  11524  decmul1  11529  decmul1OLD  11530  decmulnc  11535  sq10OLD  12991  fsumrelem  14466  bpoly4  14715  demoivreALT  14856  decexp2  15703  decsplit0  15709  decsplit0OLD  15713  37prm  15752  43prm  15753  139prm  15755  163prm  15756  317prm  15757  631prm  15758  1259lem2  15763  1259lem3  15764  1259lem4  15765  1259lem5  15766  2503lem1  15768  2503lem2  15769  2503lem3  15770  4001lem1  15772  4001lem2  15773  4001lem3  15774  4001lem4  15775  sinhalfpilem  24119  efipi  24129  asin1  24521  log2ublem3  24575  log2ub  24576  birthday  24581  emcllem6  24627  lgam1  24690  ip2i  27529  pythi  27551  normlem6  27818  normpythi  27845  normpari  27857  pjneli  28428  ballotth  30377  dirkertrigeqlem3  39621  fourierdlem103  39730  fourierdlem104  39731  fouriersw  39752  257prm  40769  fmtno4nprmfac193  40782  fmtno5faclem3  40789  fmtno5fac  40790  139prmALT  40807  127prm  40811  m11nprm  40814
  Copyright terms: Public domain W3C validator