Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgvol0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgvol0 39491
 Description: If the domani is negligible, the function is integrable and the integral is 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgvol0.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
itgvol0.2 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itgvol0.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
itgvol0 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ∧ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = 0))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgvol0
StepHypRef Expression
1 mpt0 5978 . . . 4 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐵) = ∅
2 iblempty 39488 . . . 4 ∅ ∈ 𝐿1
31, 2eqeltri 2694 . . 3 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1
4 0ss 3944 . . . . . 6 ∅ ⊆ 𝐴
54a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ∅ ⊆ 𝐴)
6 itgvol0.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
7 difssd 3716 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∖ ∅) ⊆ 𝐴)
8 itgvol0.2 . . . . . 6 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
9 ovolssnul 23162 . . . . . 6 (((𝐴 ∖ ∅) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘(𝐴 ∖ ∅)) = 0)
107, 6, 8, 9syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∖ ∅)) = 0)
11 itgvol0.3 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
125, 6, 10, 11itgss3 23487 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1) ∧ ∫∅𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐵 d𝑥))
1312simpld 475 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1))
143, 13mpbii 223 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
15 itg0 23452 . . 3 ∫∅𝐵 d𝑥 = 0
1612simprd 479 . . 3 (𝜑 → ∫∅𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐵 d𝑥)
1715, 16syl5reqr 2670 . 2 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = 0)
1814, 17jca 554 1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ∧ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ∖ cdif 3552   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891   ↦ cmpt 4673  ‘cfv 5847  ℂcc 9878  ℝcr 9879  0cc0 9880  vol*covol 23138  𝐿1cibl 23292  ∫citg 23293 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-ofr 6851  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-rest 16004  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-cmp 21100  df-ovol 23140  df-vol 23141  df-mbf 23294  df-itg1 23295  df-itg2 23296  df-ibl 23297  df-itg 23298  df-0p 23343 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator