MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolssnul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolssnul 23453
Description: A subset of a nullset is null. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolssnul ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → (vol*‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem ovolssnul
StepHypRef Expression
1 ovolss 23451 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵))
213adant3 1127 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵))
3 simp3 1133 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → (vol*‘𝐵) = 0)
42, 3breqtrd 4828 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → (vol*‘𝐴) ≤ 0)
5 sstr 3750 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
653adant3 1127 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → 𝐴 ⊆ ℝ)
7 ovolge0 23447 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘𝐴))
86, 7syl 17 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → 0 ≤ (vol*‘𝐴))
9 ovolcl 23444 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ*)
106, 9syl 17 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ*)
11 0xr 10276 . . 3 0 ∈ ℝ*
12 xrletri3 12176 . . 3 (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((vol*‘𝐴) = 0 ↔ ((vol*‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (vol*‘𝐴))))
1310, 11, 12sylancl 697 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → ((vol*‘𝐴) = 0 ↔ ((vol*‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (vol*‘𝐴))))
144, 8, 13mpbir2and 995 1 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → (vol*‘𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1630  wcel 2137  wss 3713   class class class wbr 4802  cfv 6047  cr 10125  0cc0 10126  *cxr 10263  cle 10265  vol*covol 23429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-er 7909  df-map 8023  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-sup 8511  df-inf 8512  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-rp 12024  df-ico 12372  df-fz 12518  df-seq 12994  df-exp 13053  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-ovol 23431
This theorem is referenced by:  ovolctb2  23458  ovoliunnul  23473  nulmbl  23501  volivth  23573  mbfeqalem  23606  itg10a  23674  itg1ge0a  23675  itgioo  23779  itgsplitioo  23801  voliunnfl  33764  cnambfre  33769  itgvol0  40685  ibliooicc  40688
  Copyright terms: Public domain W3C validator