MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivthicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ivthicc 22947
Description: The interval between any two points of a continuous real function is contained in the range of the function. Equivalently, the range of a continuous real function is convex. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivthicc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivthicc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivthicc.3 (𝜑𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ivthicc.4 (𝜑𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ivthicc.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivthicc.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivthicc.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ivthicc (𝜑 → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) ⊆ ran 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ivthicc
Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 785 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝜑)
2 ivthicc.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3 ivthicc.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 ivthicc.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 elicc2 12061 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑀𝑀𝐵)))
63, 4, 5syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑀𝑀𝐵)))
72, 6mpbid 220 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑀𝑀𝐵))
87simp1d 1065 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
98ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
10 ivthicc.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵))
11 elicc2 12061 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑁𝑁𝐵)))
123, 4, 11syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑁𝑁𝐵)))
1310, 12mpbid 220 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑁𝑁𝐵))
1413simp1d 1065 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1514ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
16 ivthicc.8 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1716ralrimiva 2944 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
18 fveq2 6084 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑀 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑀))
1918eleq1d 2667 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℝ))
2019rspcv 3273 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ → (𝐹𝑀) ∈ ℝ))
212, 17, 20sylc 62 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
22 fveq2 6084 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑁 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑁))
2322eleq1d 2667 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑁) ∈ ℝ))
2423rspcv 3273 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ → (𝐹𝑁) ∈ ℝ))
2510, 17, 24sylc 62 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
26 iccssre 12078 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) ⊆ ℝ)
2721, 25, 26syl2anc 690 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) ⊆ ℝ)
2827sselda 3563 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) → 𝑦 ∈ ℝ)
2928adantr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑦 ∈ ℝ)
30 simpr 475 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 < 𝑁)
317simp2d 1066 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑀)
3213simp3d 1067 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁𝐵)
33 iccss 12064 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝑀𝑁𝐵)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
343, 4, 31, 32, 33syl22anc 1318 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
35 ivthicc.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
3634, 35sstrd 3573 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ 𝐷)
3736ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ 𝐷)
38 ivthicc.7 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
3938ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
4034sselda 3563 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4140, 16syldan 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
421, 41sylan 486 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
43 elicc2 12061 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁))))
4421, 25, 43syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁))))
4544biimpa 499 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁)))
46 3simpc 1052 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁)) → ((𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁)))
4745, 46syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) → ((𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁)))
4847adantr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁)))
499, 15, 29, 30, 37, 39, 42, 48ivthle 22945 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ∃𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)(𝐹𝑧) = 𝑦)
5036sselda 3563 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑧𝐷)
51 cncff 22431 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
52 ffn 5940 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐷⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐷)
5338, 51, 523syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 Fn 𝐷)
54 fnfvelrn 6245 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝐷𝑧𝐷) → (𝐹𝑧) ∈ ran 𝐹)
5553, 54sylan 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐷) → (𝐹𝑧) ∈ ran 𝐹)
56 eleq1 2671 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑧) = 𝑦 → ((𝐹𝑧) ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹))
5755, 56syl5ibcom 233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐷) → ((𝐹𝑧) = 𝑦𝑦 ∈ ran 𝐹))
5850, 57syldan 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((𝐹𝑧) = 𝑦𝑦 ∈ ran 𝐹))
5958rexlimdva 3008 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)(𝐹𝑧) = 𝑦𝑦 ∈ ran 𝐹))
601, 49, 59sylc 62 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
61 simplr 787 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)))
62 simpr 475 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 = 𝑁)
6362fveq2d 6088 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝐹𝑀) = (𝐹𝑁))
6463oveq2d 6539 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑀)) = ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)))
6521rexrd 9941 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ*)
6665ad2antrr 757 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ*)
67 iccid 12043 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑀) ∈ ℝ* → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑀)) = {(𝐹𝑀)})
6866, 67syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑀)) = {(𝐹𝑀)})
6964, 68eqtr3d 2641 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) = {(𝐹𝑀)})
7061, 69eleqtrd 2685 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑦 ∈ {(𝐹𝑀)})
71 elsni 4137 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {(𝐹𝑀)} → 𝑦 = (𝐹𝑀))
7270, 71syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑦 = (𝐹𝑀))
7335, 2sseldd 3564 . . . . . . 7 (𝜑𝑀𝐷)
74 fnfvelrn 6245 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐷𝑀𝐷) → (𝐹𝑀) ∈ ran 𝐹)
7553, 73, 74syl2anc 690 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ran 𝐹)
7675ad2antrr 757 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝐹𝑀) ∈ ran 𝐹)
7772, 76eqeltrd 2683 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
78 simpll 785 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝜑)
7914ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
808ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
8128adantr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑦 ∈ ℝ)
82 simpr 475 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
8313simp2d 1066 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑁)
847simp3d 1067 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀𝐵)
85 iccss 12064 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝑁𝑀𝐵)) → (𝑁[,]𝑀) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
863, 4, 83, 84, 85syl22anc 1318 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁[,]𝑀) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
8786, 35sstrd 3573 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁[,]𝑀) ⊆ 𝐷)
8887ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑁[,]𝑀) ⊆ 𝐷)
8938ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
9086sselda 3563 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
9190, 16syldan 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
9278, 91sylan 486 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
9347adantr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁)))
9479, 80, 81, 82, 88, 89, 92, 93ivthle2 22946 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ∃𝑧 ∈ (𝑁[,]𝑀)(𝐹𝑧) = 𝑦)
9587sselda 3563 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → 𝑧𝐷)
9695, 57syldan 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → ((𝐹𝑧) = 𝑦𝑦 ∈ ran 𝐹))
9796rexlimdva 3008 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑁[,]𝑀)(𝐹𝑧) = 𝑦𝑦 ∈ ran 𝐹))
9878, 94, 97sylc 62 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
998, 14lttri4d 10025 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀))
10099adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀))
10160, 77, 98, 100mpjao3dan 1386 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
102101ex 448 . 2 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) → 𝑦 ∈ ran 𝐹))
103102ssrdv 3569 1 (𝜑 → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) ⊆ ran 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3o 1029  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wral 2891  wrex 2892  wss 3535  {csn 4120   class class class wbr 4573  ran crn 5025   Fn wfn 5781  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  cc 9786  cr 9787  *cxr 9925   < clt 9926  cle 9927  [,]cicc 12001  cnccncf 22414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-mulf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-fi 8173  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-xneg 11774  df-xadd 11775  df-xmul 11776  df-ioo 12002  df-icc 12005  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-seq 12615  df-exp 12674  df-hash 12931  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-hom 15735  df-cco 15736  df-rest 15848  df-topn 15849  df-0g 15867  df-gsum 15868  df-topgen 15869  df-pt 15870  df-prds 15873  df-xrs 15927  df-qtop 15932  df-imas 15933  df-xps 15935  df-mre 16011  df-mrc 16012  df-acs 16014  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-submnd 17101  df-mulg 17306  df-cntz 17515  df-cmn 17960  df-psmet 19501  df-xmet 19502  df-met 19503  df-bl 19504  df-mopn 19505  df-cnfld 19510  df-top 20459  df-bases 20460  df-topon 20461  df-topsp 20462  df-cn 20779  df-cnp 20780  df-tx 21113  df-hmeo 21306  df-xms 21872  df-ms 21873  df-tms 21874  df-cncf 22416
This theorem is referenced by:  evthicc2  22949
  Copyright terms: Public domain W3C validator