Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminflimsupclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminflimsupclim 40357
Description: A sequence of real numbers converges if its inferior limit is real, and it is greater or equal to the superior limit (in such a case, they are actually equal, see liminflelimsupuz 40335). (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminflimsupclim.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
liminflimsupclim.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
liminflimsupclim.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
liminflimsupclim.4 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
liminflimsupclim.5 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
Assertion
Ref Expression
liminflimsupclim (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )

Proof of Theorem liminflimsupclim
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrel 14267 . . 3 Rel ⇝
21a1i 11 . 2 (𝜑 → Rel ⇝ )
3 liminflimsupclim.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
4 liminflimsupclim.2 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
54fvexi 6240 . . . . . . . . . 10 𝑍 ∈ V
65a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ∈ V)
73, 6fexd 39610 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ V)
87limsupcld 40240 . . . . . . 7 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
9 liminflimsupclim.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
109rexrd 10127 . . . . . . 7 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
11 liminflimsupclim.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
12 liminflimsupclim.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
133frexr 39917 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
1412, 4, 13liminflelimsupuz 40335 . . . . . . 7 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
158, 10, 11, 14xrletrid 12024 . . . . . 6 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
1615, 9eqeltrd 2730 . . . . 5 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
1716recnd 10106 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℂ)
18 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐹
1912adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
203adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
219adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
22 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
2318, 19, 4, 20, 21, 22liminflt 40355 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑥))
2421ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
253ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
264uztrn2 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
2726adantll 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
2825, 27ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2928adantllr 755 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
3022ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
31 rpre 11877 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3324, 29, 32ltsubadd2d 10663 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((lim inf‘𝐹) − (𝐹𝑘)) < 𝑥 ↔ (lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))
3433bicomd 213 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑥) ↔ ((lim inf‘𝐹) − (𝐹𝑘)) < 𝑥))
3528recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3615eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
3736, 17eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℂ)
3837ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℂ)
3935, 38negsubdi2d 10446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → -((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) = ((lim inf‘𝐹) − (𝐹𝑘)))
4039breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (-((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥 ↔ ((lim inf‘𝐹) − (𝐹𝑘)) < 𝑥))
4140adantllr 755 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (-((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥 ↔ ((lim inf‘𝐹) − (𝐹𝑘)) < 𝑥))
4241bicomd 213 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((lim inf‘𝐹) − (𝐹𝑘)) < 𝑥 ↔ -((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥))
4329, 24resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) ∈ ℝ)
44 ltnegcon1 10567 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥 ↔ -𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹))))
4543, 32, 44syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (-((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥 ↔ -𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹))))
4642, 45bitrd 268 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((lim inf‘𝐹) − (𝐹𝑘)) < 𝑥 ↔ -𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹))))
4736oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) = ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)))
4847breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) ↔ -𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
4948ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) ↔ -𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
5034, 46, 493bitrd 294 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑥) ↔ -𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
5150ralbidva 3014 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
5251rexbidva 3078 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
5323, 52mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)))
5416adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
5518, 19, 4, 20, 54, 22limsupgt 40328 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹))
5654ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
57 ltsub23 10546 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹) ↔ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
5829, 32, 56, 57syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹) ↔ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
5958ralbidva 3014 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
6059rexbidva 3078 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
6155, 60mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)
6253, 61jca 553 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
634rexanuz2 14133 . . . . . . 7 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
6462, 63sylibr 224 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
65 simplll 813 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
66 simpllr 815 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
6726adantll 750 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
68 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)) → (-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
693ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
7016adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
7169, 70resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∈ ℝ)
7271adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∈ ℝ)
7331ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ)
74 abslt 14098 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)))
7572, 73, 74syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)))
7675adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)))
7768, 76mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥)
7877ex 449 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
7965, 66, 67, 78syl21anc 1365 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
8079ralimdva 2991 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
8180reximdva 3046 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
8264, 81mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥)
8382ralrimiva 2995 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥)
8417, 83jca 553 . . 3 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
85 ax-resscn 10031 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
8685a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
873, 86fssd 6095 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
8818, 12, 4, 87climuz 40294 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ↔ ((lim sup‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥)))
8984, 88mpbird 247 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
90 releldm 5390 . 2 ((Rel ⇝ ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
912, 89, 90syl2anc 694 1 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  wss 3607   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  Rel wrel 5148  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  abscabs 14018  lim supclsp 14245  cli 14259  lim infclsi 40301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-ceil 12634  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-liminf 40302
This theorem is referenced by:  climliminflimsup  40358  climliminflimsup2  40359
  Copyright terms: Public domain W3C validator