Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminflimsupclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminflimsupclim 40357
 Description: A sequence of real numbers converges if its inferior limit is real, and it is greater or equal to the superior limit (in such a case, they are actually equal, see liminflelimsupuz 40335). (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminflimsupclim.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
liminflimsupclim.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
liminflimsupclim.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
liminflimsupclim.4 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
liminflimsupclim.5 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
Assertion
Ref Expression
liminflimsupclim (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )

Proof of Theorem liminflimsupclim
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrel 14267 . . 3 Rel ⇝
21a1i 11 . 2 (𝜑 → Rel ⇝ )
3 liminflimsupclim.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
4 liminflimsupclim.2 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
54fvexi 6240 . . . . . . . . . 10 𝑍 ∈ V
65a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ∈ V)
73, 6fexd 39610 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ V)
87limsupcld 40240 . . . . . . 7 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
9 liminflimsupclim.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
109rexrd 10127 . . . . . . 7 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
11 liminflimsupclim.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
12 liminflimsupclim.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
133frexr 39917 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
1412, 4, 13liminflelimsupuz 40335 . . . . . . 7 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
158, 10, 11, 14xrletrid 12024 . . . . . 6 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
1615, 9eqeltrd 2730 . . . . 5 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
1716recnd 10106 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℂ)
18 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐹
1912adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
203adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
219adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
22 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
2318, 19, 4, 20, 21, 22liminflt 40355 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑥))
2421ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
253ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
264uztrn2 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
2726adantll 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
2825, 27ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2928adantllr 755 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
3022ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
31 rpre 11877 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3324, 29, 32ltsubadd2d 10663 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((lim inf‘𝐹) − (𝐹𝑘)) < 𝑥 ↔ (lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))
3433bicomd 213 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑥) ↔ ((lim inf‘𝐹) − (𝐹𝑘)) < 𝑥))
3528recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3615eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
3736, 17eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℂ)
3837ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℂ)
3935, 38negsubdi2d 10446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → -((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) = ((lim inf‘𝐹) − (𝐹𝑘)))
4039breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (-((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥 ↔ ((lim inf‘𝐹) − (𝐹𝑘)) < 𝑥))
4140adantllr 755 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (-((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥 ↔ ((lim inf‘𝐹) − (𝐹𝑘)) < 𝑥))
4241bicomd 213 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((lim inf‘𝐹) − (𝐹𝑘)) < 𝑥 ↔ -((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥))
4329, 24resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) ∈ ℝ)
44 ltnegcon1 10567 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥 ↔ -𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹))))
4543, 32, 44syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (-((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥 ↔ -𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹))))
4642, 45bitrd 268 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((lim inf‘𝐹) − (𝐹𝑘)) < 𝑥 ↔ -𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹))))
4736oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) = ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)))
4847breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) ↔ -𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
4948ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) ↔ -𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
5034, 46, 493bitrd 294 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑥) ↔ -𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
5150ralbidva 3014 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
5251rexbidva 3078 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
5323, 52mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)))
5416adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
5518, 19, 4, 20, 54, 22limsupgt 40328 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹))
5654ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
57 ltsub23 10546 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹) ↔ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
5829, 32, 56, 57syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹) ↔ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
5958ralbidva 3014 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
6059rexbidva 3078 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
6155, 60mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)
6253, 61jca 553 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
634rexanuz2 14133 . . . . . . 7 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
6462, 63sylibr 224 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
65 simplll 813 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
66 simpllr 815 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
6726adantll 750 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
68 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)) → (-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
693ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
7016adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
7169, 70resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∈ ℝ)
7271adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∈ ℝ)
7331ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ)
74 abslt 14098 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)))
7572, 73, 74syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)))
7675adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)))
7768, 76mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥)
7877ex 449 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
7965, 66, 67, 78syl21anc 1365 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
8079ralimdva 2991 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
8180reximdva 3046 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
8264, 81mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥)
8382ralrimiva 2995 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥)
8417, 83jca 553 . . 3 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
85 ax-resscn 10031 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
8685a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
873, 86fssd 6095 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
8818, 12, 4, 87climuz 40294 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ↔ ((lim sup‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥)))
8984, 88mpbird 247 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
90 releldm 5390 . 2 ((Rel ⇝ ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
912, 89, 90syl2anc 694 1 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  Rel wrel 5148  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973   + caddc 9977   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304  -cneg 10305  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  ℝ+crp 11870  abscabs 14018  lim supclsp 14245   ⇝ cli 14259  lim infclsi 40301 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-ceil 12634  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-liminf 40302 This theorem is referenced by:  climliminflimsup  40358  climliminflimsup2  40359
 Copyright terms: Public domain W3C validator