Theorem linevalexample 42690

Description: The polynomial 𝑥 − 3 over ℤ evaluated for 𝑥 = 5 results in 2. (Contributed by AV, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
linevalexample.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘ℤring)
linevalexample.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
linevalexample.x	⊢ 𝑋 = (var1‘ℤring)
linevalexample.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
linevalexample.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
linevalexample.g	⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘3))
linevalexample.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘ℤring)

Assertion

Ref	Expression
linevalexample	⊢ ((𝑂‘(𝑋 − (𝐴‘3)))‘5) = 2

Proof of Theorem linevalexample

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringcrng 20018	. . 3 ⊢ ℤring ∈ CRing
2		linevalexample.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘ℤring)
3		linevalexample.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		zringbas 20022	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
5		linevalexample.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘ℤring)
6		linevalexample.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑃)
7		linevalexample.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
8		eqid 2756	. . . 4 ⊢ (𝑋 − (𝐴‘3)) = (𝑋 − (𝐴‘3))
9		3z 11598	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (ℤring ∈ CRing → 3 ∈ ℤ)
11		linevalexample.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (eval1‘ℤring)
12		id 22	. . . 4 ⊢ (ℤring ∈ CRing → ℤring ∈ CRing)
13		5nn0 11500	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	13	nn0zi 11590	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℤ
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (ℤring ∈ CRing → 5 ∈ ℤ)
16	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 15	lineval 42688	. . 3 ⊢ (ℤring ∈ CRing → ((𝑂‘(𝑋 − (𝐴‘3)))‘5) = (5(-g‘ℤring)3))
17	1, 16	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑂‘(𝑋 − (𝐴‘3)))‘5) = (5(-g‘ℤring)3)
18		eqid 2756	. . . 4 ⊢ (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
19	18	zringsubgval 42689	. . 3 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (5 − 3) = (5(-g‘ℤring)3))
20	14, 9, 19	mp2an 710	. 2 ⊢ (5 − 3) = (5(-g‘ℤring)3)
21		5cn 11288	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
22		3cn 11283	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		2cn 11279	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		3p2e5 11348	. . 3 ⊢ (3 + 2) = 5
25	21, 22, 23, 24	subaddrii 10558	. 2 ⊢ (5 − 3) = 2
26	17, 20, 25	3eqtr2i 2784	1 ⊢ ((𝑂‘(𝑋 − (𝐴‘3)))‘5) = 2

Syntax hints:   = wceq 1628   ∈ wcel 2135  ‘cfv 6045  (class class class)co 6809   − cmin 10454  2c2 11258  3c3 11259  5c5 11261  ℤcz 11565  Basecbs 16055  -_gcsg 17621  CRingccrg 18744  algSccascl 19509  var₁cv1 19744  Poly₁cpl1 19745  eval₁ce1 19877  ℤ_ringzring 20016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-inf2 8707  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-addf 10203  ax-mulf 10204

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-iin 4671  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-se 5222  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-isom 6054  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-of 7058  df-ofr 7059  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-supp 7460  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-2o 7726  df-oadd 7729  df-er 7907  df-map 8021  df-pm 8022  df-ixp 8071  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-fsupp 8437  df-sup 8509  df-oi 8576  df-card 8951  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-7 11272  df-8 11273  df-9 11274  df-n0 11481  df-z 11566  df-dec 11682  df-uz 11876  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-seq 12992  df-hash 13308  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-ress 16063  df-plusg 16152  df-mulr 16153  df-starv 16154  df-sca 16155  df-vsca 16156  df-ip 16157  df-tset 16158  df-ple 16159  df-ds 16162  df-unif 16163  df-hom 16164  df-cco 16165  df-0g 16300  df-gsum 16301  df-prds 16306  df-pws 16308  df-mre 16444  df-mrc 16445  df-acs 16447  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-mhm 17532  df-submnd 17533  df-grp 17622  df-minusg 17623  df-sbg 17624  df-mulg 17738  df-subg 17788  df-ghm 17855  df-cntz 17946  df-cmn 18391  df-abl 18392  df-mgp 18686  df-ur 18698  df-srg 18702  df-ring 18745  df-cring 18746  df-rnghom 18913  df-subrg 18976  df-lmod 19063  df-lss 19131  df-lsp 19170  df-assa 19510  df-asp 19511  df-ascl 19512  df-psr 19554  df-mvr 19555  df-mpl 19556  df-opsr 19558  df-evls 19704  df-evl 19705  df-psr1 19748  df-vr1 19749  df-ply1 19750  df-evl1 19879  df-cnfld 19945  df-zring 20017

This theorem is referenced by: (None)