MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmmbrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmmbrf 22813
Description: Express the binary relation "sequence 𝐹 converges to point 𝑃 " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. This version of lmmbr2 22810 presupposes that 𝐹 is a function. (Contributed by NM, 20-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmbr.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmmbr.3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
lmmbr3.5 𝑍 = (ℤ𝑀)
lmmbr3.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
lmmbrf.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
lmmbrf.8 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
Assertion
Ref Expression
lmmbrf (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴𝐷𝑃) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑃,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋,𝑘,𝑥   𝑥,𝐽   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐽(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem lmmbrf
StepHypRef Expression
1 lmmbr.3 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 lmmbrf.8 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
3 elfvdm 6115 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
4 cnex 9874 . . . . . 6 ℂ ∈ V
53, 4jctir 558 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V))
6 lmmbr3.5 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
7 uzssz 11542 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
8 zsscn 11221 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ ℂ
97, 8sstri 3576 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ⊆ ℂ
106, 9eqsstri 3597 . . . . . 6 𝑍 ⊆ ℂ
1110jctr 562 . . . . 5 (𝐹:𝑍𝑋 → (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ))
12 elpm2r 7739 . . . . 5 (((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
135, 11, 12syl2an 492 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
141, 2, 13syl2anc 690 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
1514biantrurd 527 . 2 (𝜑 → ((𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))))
166uztrn2 11540 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
1716adantll 745 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
18 lmmbrf.7 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
1918oveq1d 6542 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) = (𝐴𝐷𝑃))
2019breq1d 4587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑥))
2120adantrl 747 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘𝑍)) → (((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑥))
22 fdm 5950 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝑍𝑋 → dom 𝐹 = 𝑍)
232, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
2423eleq2d 2672 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑘 ∈ dom 𝐹𝑘𝑍))
2524biimpar 500 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
262ffvelrnda 6252 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
2725, 26jca 552 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋))
2827biantrurd 527 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
29 df-3an 1032 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))
3028, 29syl6bbr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3130adantrl 747 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘𝑍)) → (((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3221, 31bitr3d 268 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘𝑍)) → ((𝐴𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3332anassrs 677 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐴𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3417, 33syldan 485 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐴𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3534ralbidva 2967 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3635rexbidva 3030 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3736ralbidv 2968 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3837anbi2d 735 . 2 (𝜑 → ((𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴𝐷𝑃) < 𝑥) ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
39 lmmbr.2 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
40 lmmbr3.6 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4139, 1, 6, 40lmmbr3 22811 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
42 3anass 1034 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
4341, 42syl6bb 274 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))))
4415, 38, 433bitr4rd 299 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴𝐷𝑃) < 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  wrex 2896  Vcvv 3172  wss 3539   class class class wbr 4577  dom cdm 5028  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  pm cpm 7723  cc 9791   < clt 9931  cz 11213  cuz 11522  +crp 11667  ∞Metcxmt 19501  MetOpencmopn 19506  𝑡clm 20788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-sup 8209  df-inf 8210  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-topgen 15876  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-lm 20791
This theorem is referenced by:  lmnn  22814  h2hlm  27055  lmclim2  32548  heibor1lem  32602  rrncmslem  32625
  Copyright terms: Public domain W3C validator