MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmnn 23042
Description: A condition that implies convergence. (Contributed by NM, 8-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmnn.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmnn.3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
lmnn.4 (𝜑𝑃𝑋)
lmnn.5 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmnn.6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
Assertion
Ref Expression
lmnn (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑘)

Proof of Theorem lmnn
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmnn.4 . 2 (𝜑𝑃𝑋)
2 rpreccl 11842 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
32adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
43rpred 11857 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
53rpge0d 11861 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (1 / 𝑥))
6 flge0nn0 12604 . . . . . 6 (((1 / 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑥)) → (⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0)
74, 5, 6syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0)
8 nn0p1nn 11317 . . . . 5 ((⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ)
97, 8syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ)
10 lmnn.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1110ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
12 lmnn.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
1312ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
14 eluznn 11743 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
159, 14sylan 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
1613, 15ffvelrnd 6346 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
171ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑃𝑋)
18 xmetcl 22117 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋𝑃𝑋) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) ∈ ℝ*)
1911, 16, 17, 18syl3anc 1324 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) ∈ ℝ*)
2015nnrecred 11051 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
2120rexrd 10074 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ*)
22 rpxr 11825 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*)
2322ad2antlr 762 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
24 lmnn.6 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
2524adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
2615, 25syldan 487 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
274adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
289nnred 11020 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℝ)
2928adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℝ)
3015nnred 11020 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
31 flltp1 12584 . . . . . . . . 9 ((1 / 𝑥) ∈ ℝ → (1 / 𝑥) < ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))
3227, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) < ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))
33 eluzle 11685 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1)) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ≤ 𝑘)
3433adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ≤ 𝑘)
3527, 29, 30, 32, 34ltletrd 10182 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) < 𝑘)
36 simplr 791 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
37 rpregt0 11831 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
38 nnrp 11827 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
3938rpregt0d 11863 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
40 ltrec1 10895 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
4137, 39, 40syl2an 494 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
4236, 15, 41syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
4335, 42mpbid 222 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) < 𝑥)
4419, 21, 23, 26, 43xrlttrd 11975 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
4544ralrimiva 2963 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
46 fveq2 6178 . . . . . 6 (𝑗 = ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) → (ℤ𝑗) = (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1)))
4746raleqdv 3139 . . . . 5 (𝑗 = ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))
4847rspcev 3304 . . . 4 ((((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
499, 45, 48syl2anc 692 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
5049ralrimiva 2963 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
51 lmnn.2 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
52 nnuz 11708 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
53 1zzd 11393 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
54 eqidd 2621 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
5551, 10, 52, 53, 54, 12lmmbrf 23041 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
561, 50, 55mpbir2and 956 1 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wral 2909  wrex 2910   class class class wbr 4644  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924  *cxr 10058   < clt 10059  cle 10060   / cdiv 10669  cn 11005  0cn0 11277  cuz 11672  +crp 11817  cfl 12574  ∞Metcxmt 19712  MetOpencmopn 19717  𝑡clm 21011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-fl 12576  df-topgen 16085  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-top 20680  df-topon 20697  df-bases 20731  df-lm 21014
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator