Theorem lspindp1 19905

Description: Alternate way to say 3 vectors are mutually independent (swap 1st and 2nd). (Contributed by NM, 11-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspindp1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspindp1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspindp1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspindp1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspindp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lspindp1.z	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspindp1.x	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lspindp1.q	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lspindp1.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspindp1	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})))

Proof of Theorem lspindp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspindp1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspindp1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		lspindp1.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lspindp1.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5		lspindp1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
6	5	eldifad 3948	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		lspindp1.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
8		lspindp1.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
9	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8	lspindpi 19904	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
10	9	simprd 498	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
11		lspindp1.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
12	3	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
13	5	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	4	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})) → 𝑍 ∈ 𝑉)
15	7	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
16		lspindp1.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
17	16	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
18		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌}))
19	1, 11, 2, 12, 13, 14, 15, 17, 18	lspexch 19901	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
20	8, 19	mtand 814	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌}))
21	10, 20	jca 514	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   ∖ cdif 3933  {csn 4567  {cpr 4569  ‘cfv 6355  Basecbs 16483  0_gc0g 16713  LSpanclspn 19743  LVecclvec 19874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-tpos 7892  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-lsm 18761  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lvec 19875

This theorem is referenced by:  lspindp2l  19906  lspindp2  19907  mapdindp3  38873  mapdindp4  38874  mapdheq4lem  38882  mapdheq4  38883  mapdh6lem1N  38884  mapdh6lem2N  38885  mapdh6aN  38886  mapdh6dN  38890  mapdh6eN  38891  mapdh6fN  38892  mapdh7dN  38901  hdmap1l6lem1  38958  hdmap1l6lem2  38959  hdmap1l6a  38960  hdmap1l6d  38964  hdmap1l6e  38965  hdmap1l6f  38966