Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh6lem1N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh6lem1N 37339
 Description: Lemma for mapdh6N 37353. Part (6) in [Baer] p. 47, lines 16-18. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s = (-g𝑈)
mapdhc.o 0 = (0g𝑈)
mapdh.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdhc.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.p + = (+g𝑈)
mapdh.a = (+g𝐶)
mapdhe6.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe6.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe6.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh6.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh6.fg (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh6.fe (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
mapdh6lem1N (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,   ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   𝜑,   0 ,   𝐶,   𝐷,   ,𝐽   ,𝑀   ,𝑁   𝑅,   𝑈,   ,   ,𝐺,𝑥   ,𝐸   ,𝑍,𝑥   ,   ,𝐼   + ,,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   (𝑥)   𝑄()   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥,)   𝐼(𝑥)   𝐾(𝑥,)   𝑉(𝑥,)   𝑊(𝑥,)

Proof of Theorem mapdh6lem1N
StepHypRef Expression
1 mapdh.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2651 . . . 4 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5 mapdh.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
61, 3, 5dvhlmod 36716 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
7 mapdhcl.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
87eldifad 3619 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
9 mapdhe6.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
109eldifad 3619 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑉)
11 mapdh.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑈)
12 mapdh.s . . . . . . . 8 = (-g𝑈)
1311, 12lmodvsubcl 18956 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
146, 8, 10, 13syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
15 mapdh.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
1611, 4, 15lspsncl 19025 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
176, 14, 16syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
18 mapdhe6.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1918eldifad 3619 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
2011, 4, 15lspsncl 19025 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
216, 19, 20syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
22 eqid 2651 . . . . . 6 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
234, 22lsmcl 19131 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
246, 17, 21, 23syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
2511, 12lmodvsubcl 18956 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑍𝑉) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉)
266, 8, 19, 25syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉)
2711, 4, 15lspsncl 19025 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
286, 26, 27syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
2911, 4, 15lspsncl 19025 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
306, 10, 29syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
314, 22lsmcl 19131 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
326, 28, 30, 31syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
331, 2, 3, 4, 5, 24, 32mapdin 37268 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))) = ((𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))))
34 mapdh.c . . . . . 6 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
35 eqid 2651 . . . . . 6 (LSSum‘𝐶) = (LSSum‘𝐶)
361, 2, 3, 4, 22, 34, 35, 5, 17, 21mapdlsm 37270 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))))
371, 2, 3, 4, 22, 34, 35, 5, 28, 30mapdlsm 37270 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
3836, 37ineq12d 3848 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))) = (((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) ∩ ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))))
39 mapdh6.fg . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
40 mapdh.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (0g𝐶)
41 mapdh.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
42 mapdhc.o . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑈)
43 mapdh.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Base‘𝐶)
44 mapdh.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (-g𝐶)
45 mapdh.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
46 mapdhc.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝐷)
47 mapdh.mn . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
481, 3, 5dvhlvec 36715 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
49 mapdh6.yz . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
50 mapdhe6.xn . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
5111, 42, 15, 48, 10, 18, 8, 49, 50lspindp2 19183 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
5251simpld 474 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
5340, 41, 1, 2, 3, 11, 12, 42, 15, 34, 43, 44, 45, 5, 46, 47, 7, 10, 52mapdhcl 37333 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
5439, 53eqeltrrd 2731 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐷)
5540, 41, 1, 2, 3, 11, 12, 42, 15, 34, 43, 44, 45, 5, 46, 47, 7, 9, 54, 52mapdheq 37334 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
5639, 55mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
5756simprd 478 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))
58 mapdh6.fe . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
5911, 42, 15, 48, 9, 19, 8, 49, 50lspindp1 19181 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
6059simpld 474 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
6140, 41, 1, 2, 3, 11, 12, 42, 15, 34, 43, 44, 45, 5, 46, 47, 7, 19, 60mapdhcl 37333 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)
6258, 61eqeltrrd 2731 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸𝐷)
6340, 41, 1, 2, 3, 11, 12, 42, 15, 34, 43, 44, 45, 5, 46, 47, 7, 18, 62, 60mapdheq 37334 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
6458, 63mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})))
6564simpld 474 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}))
6657, 65oveq12d 6708 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})))
6764simprd 478 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))
6856simpld 474 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
6967, 68oveq12d 6708 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) = ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐺})))
7066, 69ineq12d 3848 . . . 4 (𝜑 → (((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) ∩ ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))) = (((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐺}))))
7138, 70eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → ((𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))) = (((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐺}))))
7233, 71eqtrd 2685 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))) = (((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐺}))))
73 mapdh.p . . . 4 + = (+g𝑈)
7411, 12, 42, 22, 15, 48, 8, 50, 49, 9, 18, 73baerlem5a 37320 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))))
7574fveq2d 6233 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})) = (𝑀‘(((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))))
761, 34, 5lcdlvec 37197 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
771, 2, 3, 11, 15, 34, 43, 45, 5, 46, 47, 8, 10, 54, 68, 19, 62, 65, 50mapdindp 37277 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ (𝐽‘{𝐺, 𝐸}))
781, 2, 3, 11, 15, 34, 43, 45, 5, 54, 68, 10, 19, 62, 65, 49mapdncol 37276 . . 3 (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ≠ (𝐽‘{𝐸}))
791, 2, 3, 11, 15, 34, 43, 45, 5, 54, 68, 42, 40, 9mapdn0 37275 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
801, 2, 3, 11, 15, 34, 43, 45, 5, 62, 65, 42, 40, 18mapdn0 37275 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
81 mapdh.a . . 3 = (+g𝐶)
8243, 44, 40, 35, 45, 76, 46, 77, 78, 79, 80, 81baerlem5a 37320 . 2 (𝜑 → (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))}) = (((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐺}))))
8372, 75, 823eqtr4d 2695 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604   ∩ cin 3606  ifcif 4119  {csn 4210  {cpr 4212  ⟨cotp 4218   ↦ cmpt 4762  ‘cfv 5926  ℩crio 6650  (class class class)co 6690  1st c1st 7208  2nd c2nd 7209  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  0gc0g 16147  -gcsg 17471  LSSumclsm 18095  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980  LSpanclspn 19019  HLchlt 34955  LHypclh 35588  DVecHcdvh 36684  LCDualclcd 37192  mapdcmpd 37230 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-riotaBAD 34557 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-undef 7444  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-0g 16149  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-oppg 17822  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151  df-lsatoms 34581  df-lshyp 34582  df-lcv 34624  df-lfl 34663  df-lkr 34691  df-ldual 34729  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764  df-tgrp 36348  df-tendo 36360  df-edring 36362  df-dveca 36608  df-disoa 36635  df-dvech 36685  df-dib 36745  df-dic 36779  df-dih 36835  df-doch 36954  df-djh 37001  df-lcdual 37193  df-mapd 37231 This theorem is referenced by:  mapdh6lem2N  37340  mapdh6aN  37341
 Copyright terms: Public domain W3C validator