Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1l6lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1l6lem2 35915
Description: Lemma for hdmap1l6 35928. Part (6) in [Baer] p. 47, lines 20-22. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1l6.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1l6.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1l6.p + = (+g𝑈)
hdmap1l6.s = (-g𝑈)
hdmap1l6c.o 0 = (0g𝑈)
hdmap1l6.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1l6.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1l6.a = (+g𝐶)
hdmap1l6.r 𝑅 = (-g𝐶)
hdmap1l6.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmap1l6.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1l6.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap1l6.f (𝜑𝐹𝐷)
hdmap1l6cl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
hdmap1l6e.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6e.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6e.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
hdmap1l6.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
hdmap1l6.fg (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
hdmap1l6.fe (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
hdmap1l6lem2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = (𝐿‘{(𝐺 𝐸)}))

Proof of Theorem hdmap1l6lem2
StepHypRef Expression
1 hdmap1l6.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap1l6.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap1l6.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2605 . . . 4 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5 hdmap1l6.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
61, 3, 5dvhlmod 35216 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
7 hdmap1l6e.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
87eldifad 3547 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
9 hdmap1l6.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
10 hdmap1l6.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
119, 4, 10lspsncl 18740 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
126, 8, 11syl2anc 690 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
13 hdmap1l6e.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1413eldifad 3547 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
159, 4, 10lspsncl 18740 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
166, 14, 15syl2anc 690 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
17 eqid 2605 . . . . . 6 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
184, 17lsmcl 18846 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
196, 12, 16, 18syl3anc 1317 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
20 hdmap1l6cl.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2120eldifad 3547 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
22 hdmap1l6.p . . . . . . . . 9 + = (+g𝑈)
239, 22lmodvacl 18642 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
246, 8, 14, 23syl3anc 1317 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
25 hdmap1l6.s . . . . . . . 8 = (-g𝑈)
269, 25lmodvsubcl 18673 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑋 (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
276, 21, 24, 26syl3anc 1317 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
289, 4, 10lspsncl 18740 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
296, 27, 28syl2anc 690 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
309, 4, 10lspsncl 18740 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
316, 21, 30syl2anc 690 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
324, 17lsmcl 18846 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
336, 29, 31, 32syl3anc 1317 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
341, 2, 3, 4, 5, 19, 33mapdin 35768 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})))) = ((𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})))))
35 hdmap1l6.c . . . . . 6 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
36 eqid 2605 . . . . . 6 (LSSum‘𝐶) = (LSSum‘𝐶)
371, 2, 3, 4, 17, 35, 36, 5, 12, 16mapdlsm 35770 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))))
38 hdmap1l6.fg . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
39 hdmap1l6c.o . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑈)
40 hdmap1l6.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Base‘𝐶)
41 hdmap1l6.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (-g𝐶)
42 hdmap1l6.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
43 hdmap1l6.i . . . . . . . . 9 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
44 hdmap1l6.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝐷)
45 hdmap1l6.mn . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
461, 3, 5dvhlvec 35215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
47 hdmap1l6.yz . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
48 hdmap1l6e.xn . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
499, 39, 10, 46, 8, 13, 21, 47, 48lspindp2 18898 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
5049simpld 473 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
511, 3, 9, 39, 10, 35, 40, 42, 2, 43, 5, 44, 45, 50, 20, 8hdmap1cl 35911 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
5238, 51eqeltrrd 2684 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐷)
531, 3, 9, 25, 39, 10, 35, 40, 41, 42, 2, 43, 5, 20, 44, 7, 52, 50, 45hdmap1eq 35908 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
5438, 53mpbid 220 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
5554simpld 473 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}))
56 hdmap1l6.fe . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
579, 39, 10, 46, 7, 14, 21, 47, 48lspindp1 18896 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
5857simpld 473 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
591, 3, 9, 39, 10, 35, 40, 42, 2, 43, 5, 44, 45, 58, 20, 14hdmap1cl 35911 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)
6056, 59eqeltrrd 2684 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸𝐷)
611, 3, 9, 25, 39, 10, 35, 40, 41, 42, 2, 43, 5, 20, 44, 13, 60, 58, 45hdmap1eq 35908 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐿‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
6256, 61mpbid 220 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐿‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐸)})))
6362simpld 473 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐿‘{𝐸}))
6455, 63oveq12d 6541 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝐿‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐸})))
6537, 64eqtrd 2639 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝐿‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐸})))
661, 2, 3, 4, 17, 35, 36, 5, 29, 31mapdlsm 35770 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))))
67 hdmap1l6.a . . . . . . 7 = (+g𝐶)
68 hdmap1l6.q . . . . . . 7 𝑄 = (0g𝐶)
691, 3, 9, 22, 25, 39, 10, 35, 40, 67, 41, 68, 42, 2, 43, 5, 44, 20, 45, 7, 13, 48, 47, 38, 56hdmap1l6lem1 35914 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))}))
7069, 45oveq12d 6541 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))) = ((𝐿‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐹})))
7166, 70eqtrd 2639 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋}))) = ((𝐿‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐹})))
7265, 71ineq12d 3772 . . 3 (𝜑 → ((𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})))) = (((𝐿‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐸})) ∩ ((𝐿‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐹}))))
7334, 72eqtrd 2639 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})))) = (((𝐿‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐸})) ∩ ((𝐿‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐹}))))
749, 25, 39, 17, 10, 46, 21, 48, 47, 7, 13, 22baerlem5b 35821 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋}))))
7574fveq2d 6088 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = (𝑀‘(((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})))))
761, 35, 5lcdlvec 35697 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
771, 2, 3, 9, 10, 35, 40, 42, 5, 44, 45, 21, 8, 52, 55, 14, 60, 63, 48mapdindp 35777 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ (𝐿‘{𝐺, 𝐸}))
781, 2, 3, 9, 10, 35, 40, 42, 5, 52, 55, 8, 14, 60, 63, 47mapdncol 35776 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘{𝐺}) ≠ (𝐿‘{𝐸}))
791, 2, 3, 9, 10, 35, 40, 42, 5, 52, 55, 39, 68, 7mapdn0 35775 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
801, 2, 3, 9, 10, 35, 40, 42, 5, 60, 63, 39, 68, 13mapdn0 35775 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
8140, 41, 68, 36, 42, 76, 44, 77, 78, 79, 80, 67baerlem5b 35821 . 2 (𝜑 → (𝐿‘{(𝐺 𝐸)}) = (((𝐿‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐸})) ∩ ((𝐿‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐹}))))
8273, 75, 813eqtr4d 2649 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = (𝐿‘{(𝐺 𝐸)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  cdif 3532  cin 3534  {csn 4120  {cpr 4122  cotp 4128  cfv 5786  (class class class)co 6523  Basecbs 15637  +gcplusg 15710  0gc0g 15865  -gcsg 17189  LSSumclsm 17814  LModclmod 18628  LSubSpclss 18695  LSpanclspn 18734  HLchlt 33454  LHypclh 34087  DVecHcdvh 35184  LCDualclcd 35692  mapdcmpd 35730  HDMap1chdma1 35898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-riotaBAD 33056
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-ot 4129  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-tpos 7212  df-undef 7259  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-0g 15867  df-mre 16011  df-mrc 16012  df-acs 16014  df-preset 16693  df-poset 16711  df-plt 16723  df-lub 16739  df-glb 16740  df-join 16741  df-meet 16742  df-p0 16804  df-p1 16805  df-lat 16811  df-clat 16873  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-submnd 17101  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-sbg 17192  df-subg 17356  df-cntz 17515  df-oppg 17541  df-lsm 17816  df-cmn 17960  df-abl 17961  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-oppr 18388  df-dvdsr 18406  df-unit 18407  df-invr 18437  df-dvr 18448  df-drng 18514  df-lmod 18630  df-lss 18696  df-lsp 18735  df-lvec 18866  df-lsatoms 33080  df-lshyp 33081  df-lcv 33123  df-lfl 33162  df-lkr 33190  df-ldual 33228  df-oposet 33280  df-ol 33282  df-oml 33283  df-covers 33370  df-ats 33371  df-atl 33402  df-cvlat 33426  df-hlat 33455  df-llines 33601  df-lplanes 33602  df-lvols 33603  df-lines 33604  df-psubsp 33606  df-pmap 33607  df-padd 33899  df-lhyp 34091  df-laut 34092  df-ldil 34207  df-ltrn 34208  df-trl 34263  df-tgrp 34848  df-tendo 34860  df-edring 34862  df-dveca 35108  df-disoa 35135  df-dvech 35185  df-dib 35245  df-dic 35279  df-dih 35335  df-doch 35454  df-djh 35501  df-lcdual 35693  df-mapd 35731  df-hdmap1 35900
This theorem is referenced by:  hdmap1l6a  35916
  Copyright terms: Public domain W3C validator