MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppratlem4 19090
Description: Lemma for lspprat 19093. In the second case of lsppratlem1 19087, 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) and 𝑦 ∉ (𝑁‘{𝑥}) implies 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) and thus 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) as well. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u (𝜑𝑈𝑆)
lspprat.x (𝜑𝑋𝑉)
lspprat.y (𝜑𝑌𝑉)
lspprat.p (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem1.o 0 = (0g𝑊)
lsppratlem1.x2 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
lsppratlem1.y2 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
lsppratlem4.x3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lsppratlem4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))

Proof of Theorem lsppratlem4
StepHypRef Expression
1 lspprat.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19046 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lspprat.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 lspprat.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
6 lspprat.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7 lspprat.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝑆)
84, 5lssss 18877 . . . . . . . 8 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝑉)
109ssdifssd 3732 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑉)
11 lsppratlem1.x2 . . . . . 6 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
1210, 11sseldd 3589 . . . . 5 (𝜑𝑥𝑉)
139ssdifssd 3732 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) ⊆ 𝑉)
14 lsppratlem1.y2 . . . . . 6 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
1513, 14sseldd 3589 . . . . 5 (𝜑𝑦𝑉)
164, 5, 6, 3, 12, 15lspprcl 18918 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆)
17 df-pr 4158 . . . . 5 {𝑥, 𝑌} = ({𝑥} ∪ {𝑌})
18 snsspr1 4320 . . . . . . 7 {𝑥} ⊆ {𝑥, 𝑦}
19 prssi 4328 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑉𝑦𝑉) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉)
2012, 15, 19syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉)
214, 6lspssid 18925 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉) → {𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
223, 20, 21syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
2318, 22syl5ss 3599 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
2412snssd 4316 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑥} ⊆ 𝑉)
25 lspprat.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑉)
26 lspprat.p . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2726pssssd 3688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
284, 5, 6, 3, 12, 25lspprcl 18918 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ∈ 𝑆)
29 df-pr 4158 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
30 lsppratlem4.x3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
3130snssd 4316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
32 snsspr2 4321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑌} ⊆ {𝑥, 𝑌}
33 prssi 4328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝑉𝑌𝑉) → {𝑥, 𝑌} ⊆ 𝑉)
3412, 25, 33syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → {𝑥, 𝑌} ⊆ 𝑉)
354, 6lspssid 18925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑌} ⊆ 𝑉) → {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
363, 34, 35syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
3732, 36syl5ss 3599 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
3831, 37unssd 3773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ({𝑋} ∪ {𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
3929, 38syl5eqss 3634 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
405, 6lspssp 18928 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ∈ 𝑆 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
413, 28, 39, 40syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
4227, 41sstrd 3598 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
4317fveq2i 6161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌}))
4442, 43syl6sseq 3636 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})))
4544ssdifd 3730 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) ⊆ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))
4645, 14sseldd 3589 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑦 ∈ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))
474, 5, 6lspsolv 19083 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ ({𝑥} ⊆ 𝑉𝑌𝑉𝑦 ∈ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑌 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦})))
481, 24, 25, 46, 47syl13anc 1325 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦})))
49 df-pr 4158 . . . . . . . . 9 {𝑥, 𝑦} = ({𝑥} ∪ {𝑦})
5049fveq2i 6161 . . . . . . . 8 (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) = (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦}))
5148, 50syl6eleqr 2709 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
5251snssd 4316 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
5323, 52unssd 3773 . . . . 5 (𝜑 → ({𝑥} ∪ {𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
5417, 53syl5eqss 3634 . . . 4 (𝜑 → {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
555, 6lspssp 18928 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆 ∧ {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})) → (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
563, 16, 54, 55syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
5756, 30sseldd 3589 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
5857, 51jca 554 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cdif 3557  cun 3558  wss 3560  wpss 3561  {csn 4155  {cpr 4157  cfv 5857  Basecbs 15800  0gc0g 16040  LModclmod 18803  LSubSpclss 18872  LSpanclspn 18911  LVecclvec 19042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-tpos 7312  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-oppr 18563  df-dvdsr 18581  df-unit 18582  df-invr 18612  df-drng 18689  df-lmod 18805  df-lss 18873  df-lsp 18912  df-lvec 19043
This theorem is referenced by:  lsppratlem5  19091
  Copyright terms: Public domain W3C validator