MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltne 10726
Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ltne ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)

Proof of Theorem ltne
StepHypRef Expression
1 ltnr 10724 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2 breq2 5062 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐴))
32notbid 319 . . . 4 (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐴))
41, 3syl5ibrcom 248 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 = 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
54necon2ad 3031 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))
65imp 407 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3016   class class class wbr 5058  cr 10525   < clt 10664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669
This theorem is referenced by:  ltlen  10730  gtneii  10741  ltnei  10753  gtned  10764  gt0ne0  11094  lt0ne0  11095  gt0ne0d  11193  coprm  16045  phibndlem  16097  cshwshashlem1  16419  chfacffsupp  21394  chfacfscmul0  21396  chfacfscmulgsum  21398  chfacfpmmul0  21400  chfacfpmmulgsum  21402  sineq0  25038  logbgt0b  25298  axlowdimlem16  26671  frgrogt3nreg  28104  staddi  29951  stadd3i  29953  knoppndvlem12  33760  knoppndvlem14  33762  tan2h  34766  poimirlem24  34798  ftc1cnnc  34848  fdc  34903  sineq0ALT  41151  sqrtnegnre  43388  requad01  43633  rrx2plord2  44607  eenglngeehlnmlem1  44622
  Copyright terms: Public domain W3C validator