Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh7fN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh7fN 35857
Description: Part (7) of [Baer] p. 48 line 10 (6 of 6 cases). (Contributed by NM, 2-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh7.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh7.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh7.s = (-g𝑈)
mapdh7.o 0 = (0g𝑈)
mapdh7.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh7.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh7.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh7.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh7.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh7.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh7.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdh7.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh7.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh7.x (𝜑𝑢 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.y (𝜑𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.z (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
mapdh7.wn (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑢, 𝑣}))
mapdh7a (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑣⟩) = 𝐺)
mapdh7.b (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑤⟩) = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
mapdh7fN (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑤, 𝐸, 𝑣⟩) = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,,   𝐶,   𝐷,,𝑥   ,𝐸,𝑥   ,𝐹,𝑥   ,𝐺,𝑥   0 ,,𝑥   ,𝐽,𝑥   ,𝑀,𝑥   ,𝑁,𝑥   𝜑,   𝑥,𝑄   𝑢,,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,,𝑥   𝑈,
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐷(𝑤,𝑣,𝑢)   𝑄(𝑤,𝑣,𝑢,)   𝑅(𝑤,𝑣,𝑢)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐸(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,)   𝐼(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,)   𝐽(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,)   𝑀(𝑤,𝑣,𝑢)   (𝑤,𝑣,𝑢)   𝑁(𝑤,𝑣,𝑢)   𝑉(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,)   0 (𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem mapdh7fN
StepHypRef Expression
1 mapdh7.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh7.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh7.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 mapdh7.s . . 3 = (-g𝑈)
5 mapdh7.o . . 3 0 = (0g𝑈)
6 mapdh7.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 mapdh7.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 mapdh7.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
9 mapdh7.r . . 3 𝑅 = (-g𝐶)
10 mapdh7.q . . 3 𝑄 = (0g𝐶)
11 mapdh7.j . . 3 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12 mapdh7.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 mapdh7.i . . 3 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
14 mapdh7.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 mapdh7.f . . 3 (𝜑𝐹𝐷)
16 mapdh7.mn . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐽‘{𝐹}))
17 mapdh7.x . . 3 (𝜑𝑢 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18 mapdh7.y . . 3 (𝜑𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19 mapdh7.z . . 3 (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20 mapdh7.ne . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
21 mapdh7.wn . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑢, 𝑣}))
22 mapdh7a . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑣⟩) = 𝐺)
23 mapdh7.b . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑤⟩) = 𝐸)
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23mapdh7dN 35856 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑣, 𝐺, 𝑤⟩) = 𝐸)
2518eldifad 3547 . . . . 5 (𝜑𝑣𝑉)
2610, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 15, 16, 17, 25, 20mapdhcl 35833 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑣⟩) ∈ 𝐷)
2722, 26eqeltrrd 2684 . . 3 (𝜑𝐺𝐷)
2810, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 15, 16, 17, 18, 27, 20mapdheq 35834 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑣⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 𝑣)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
2922, 28mpbid 220 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 𝑣)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
3029simpld 473 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐽‘{𝐺}))
3119eldifad 3547 . . . . 5 (𝜑𝑤𝑉)
321, 2, 14dvhlvec 35215 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
3317eldifad 3547 . . . . . . . 8 (𝜑𝑢𝑉)
343, 6, 32, 31, 33, 25, 21lspindpi 18895 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑢}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑣})))
3534simpld 473 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑢}))
3635necomd 2832 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
3710, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 15, 16, 17, 31, 36mapdhcl 35833 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑤⟩) ∈ 𝐷)
3823, 37eqeltrrd 2684 . . 3 (𝜑𝐸𝐷)
3934simprd 477 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
4039necomd 2832 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
4110, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 27, 30, 18, 19, 38, 40mapdheq2 35835 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑣, 𝐺, 𝑤⟩) = 𝐸 → (𝐼‘⟨𝑤, 𝐸, 𝑣⟩) = 𝐺))
4224, 41mpd 15 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑤, 𝐸, 𝑣⟩) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  Vcvv 3168  cdif 3532  ifcif 4031  {csn 4120  {cpr 4122  cotp 4128  cmpt 4633  cfv 5786  crio 6484  (class class class)co 6523  1st c1st 7030  2nd c2nd 7031  Basecbs 15637  0gc0g 15865  -gcsg 17189  LSpanclspn 18734  HLchlt 33454  LHypclh 34087  DVecHcdvh 35184  LCDualclcd 35692  mapdcmpd 35730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-riotaBAD 33056
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-ot 4129  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-tpos 7212  df-undef 7259  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-0g 15867  df-mre 16011  df-mrc 16012  df-acs 16014  df-preset 16693  df-poset 16711  df-plt 16723  df-lub 16739  df-glb 16740  df-join 16741  df-meet 16742  df-p0 16804  df-p1 16805  df-lat 16811  df-clat 16873  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-submnd 17101  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-sbg 17192  df-subg 17356  df-cntz 17515  df-oppg 17541  df-lsm 17816  df-cmn 17960  df-abl 17961  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-oppr 18388  df-dvdsr 18406  df-unit 18407  df-invr 18437  df-dvr 18448  df-drng 18514  df-lmod 18630  df-lss 18696  df-lsp 18735  df-lvec 18866  df-lsatoms 33080  df-lshyp 33081  df-lcv 33123  df-lfl 33162  df-lkr 33190  df-ldual 33228  df-oposet 33280  df-ol 33282  df-oml 33283  df-covers 33370  df-ats 33371  df-atl 33402  df-cvlat 33426  df-hlat 33455  df-llines 33601  df-lplanes 33602  df-lvols 33603  df-lines 33604  df-psubsp 33606  df-pmap 33607  df-padd 33899  df-lhyp 34091  df-laut 34092  df-ldil 34207  df-ltrn 34208  df-trl 34263  df-tgrp 34848  df-tendo 34860  df-edring 34862  df-dveca 35108  df-disoa 35135  df-dvech 35185  df-dib 35245  df-dic 35279  df-dih 35335  df-doch 35454  df-djh 35501  df-lcdual 35693  df-mapd 35731
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator