Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem22 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem22 36459
Description: Lemma for mapdpg 36472. Baer p. 45, line 9: "(F(x-y))* = ... = G(x'-y')." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpglem3.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpglem3.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q 𝑄 = (0g𝑈)
mapdpglem.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z 0 = (0g𝐴)
mapdpglem4.g4 (𝜑𝑔𝐵)
mapdpglem4.z4 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn (𝜑𝑋𝑄)
mapdpglem12.yn (𝜑𝑌𝑄)
mapdpglem17.ep 𝐸 = (((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
Assertion
Ref Expression
mapdpglem22 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐸(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem22
StepHypRef Expression
1 mapdpglem4.jt . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
2 mapdpglem.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 mapdpglem.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdpglem.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
52, 3, 4lcdlvec 36357 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
6 mapdpglem.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
72, 6, 4dvhlvec 35875 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
8 mapdpglem3.a . . . . . . 7 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
98lvecdrng 19024 . . . . . 6 (𝑈 ∈ LVec → 𝐴 ∈ DivRing)
107, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ DivRing)
11 mapdpglem4.g4 . . . . 5 (𝜑𝑔𝐵)
12 mapdpglem.m . . . . . 6 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 mapdpglem.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
14 mapdpglem.s . . . . . 6 = (-g𝑈)
15 mapdpglem.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
16 mapdpglem.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
17 mapdpglem.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
18 mapdpglem1.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝐶)
19 mapdpglem2.j . . . . . 6 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
20 mapdpglem3.f . . . . . 6 𝐹 = (Base‘𝐶)
21 mapdpglem3.te . . . . . 6 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
22 mapdpglem3.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
23 mapdpglem3.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝐶)
24 mapdpglem3.r . . . . . 6 𝑅 = (-g𝐶)
25 mapdpglem3.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
26 mapdpglem3.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
27 mapdpglem4.q . . . . . 6 𝑄 = (0g𝑈)
28 mapdpglem.ne . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
29 mapdpglem4.z . . . . . 6 0 = (0g𝐴)
30 mapdpglem4.z4 . . . . . 6 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
31 mapdpglem4.t4 . . . . . 6 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
32 mapdpglem4.xn . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑄)
332, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 8, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 1, 29, 11, 30, 31, 32mapdpglem11 36448 . . . . 5 (𝜑𝑔0 )
34 eqid 2621 . . . . . 6 (invr𝐴) = (invr𝐴)
3522, 29, 34drnginvrcl 18685 . . . . 5 ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔𝐵𝑔0 ) → ((invr𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
3610, 11, 33, 35syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → ((invr𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
37 eqid 2621 . . . . 5 (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
38 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
392, 6, 8, 22, 3, 37, 38, 4lcdsbase 36366 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
4036, 39eleqtrrd 2701 . . 3 (𝜑 → ((invr𝐴)‘𝑔) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
4122, 29, 34drnginvrn0 18686 . . . . 5 ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔𝐵𝑔0 ) → ((invr𝐴)‘𝑔) ≠ 0 )
4210, 11, 33, 41syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → ((invr𝐴)‘𝑔) ≠ 0 )
43 eqid 2621 . . . . 5 (0g‘(Scalar‘𝐶)) = (0g‘(Scalar‘𝐶))
442, 6, 8, 29, 3, 37, 43, 4lcd0 36374 . . . 4 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐶)) = 0 )
4542, 44neeqtrrd 2864 . . 3 (𝜑 → ((invr𝐴)‘𝑔) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐶)))
462, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21mapdpglem2a 36440 . . 3 (𝜑𝑡𝐹)
4720, 37, 23, 38, 43, 19lspsnvs 19033 . . 3 ((𝐶 ∈ LVec ∧ (((invr𝐴)‘𝑔) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)) ∧ ((invr𝐴)‘𝑔) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐶))) ∧ 𝑡𝐹) → (𝐽‘{(((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑡)}) = (𝐽‘{𝑡}))
485, 40, 45, 46, 47syl121anc 1328 . 2 (𝜑 → (𝐽‘{(((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑡)}) = (𝐽‘{𝑡}))
49 mapdpglem12.yn . . . . 5 (𝜑𝑌𝑄)
50 mapdpglem17.ep . . . . 5 𝐸 = (((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
512, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 8, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 1, 29, 11, 30, 31, 32, 49, 50mapdpglem21 36458 . . . 4 (𝜑 → (((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑡) = (𝐺𝑅𝐸))
5251sneqd 4160 . . 3 (𝜑 → {(((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑡)} = {(𝐺𝑅𝐸)})
5352fveq2d 6152 . 2 (𝜑 → (𝐽‘{(((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑡)}) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))
541, 48, 533eqtr2d 2661 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  {csn 4148  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  0gc0g 16021  -gcsg 17345  LSSumclsm 17970  invrcinvr 18592  DivRingcdr 18668  LSpanclspn 18890  LVecclvec 19021  HLchlt 34114  LHypclh 34747  DVecHcdvh 35844  LCDualclcd 36352  mapdcmpd 36390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-riotaBAD 33716
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-undef 7344  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-0g 16023  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-cntz 17671  df-oppg 17697  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lvec 19022  df-lsatoms 33740  df-lshyp 33741  df-lcv 33783  df-lfl 33822  df-lkr 33850  df-ldual 33888  df-oposet 33940  df-ol 33942  df-oml 33943  df-covers 34030  df-ats 34031  df-atl 34062  df-cvlat 34086  df-hlat 34115  df-llines 34261  df-lplanes 34262  df-lvols 34263  df-lines 34264  df-psubsp 34266  df-pmap 34267  df-padd 34559  df-lhyp 34751  df-laut 34752  df-ldil 34867  df-ltrn 34868  df-trl 34923  df-tgrp 35508  df-tendo 35520  df-edring 35522  df-dveca 35768  df-disoa 35795  df-dvech 35845  df-dib 35905  df-dic 35939  df-dih 35995  df-doch 36114  df-djh 36161  df-lcdual 36353  df-mapd 36391
This theorem is referenced by:  mapdpglem23  36460
  Copyright terms: Public domain W3C validator