Theorem mat2pmatmhm 21341

Description: The transformation of matrices into polynomial matrices is a homomorphism of multiplicative monoids. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat2pmatbas.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mat2pmatbas.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h	⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mat2pmatmhm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝐶)))

Proof of Theorem mat2pmatmhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 19308	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		mat2pmatbas.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3	2	matring 21052	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
4	1, 3	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
5		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝐴) = (mulGrp‘𝐴)
6	5	ringmgp 19303	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd)
7	4, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd)
8		mat2pmatbas.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
9	8	ply1ring 20416	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
10	1, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
11		mat2pmatbas.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
12	11	matring 21052	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
13	10, 12	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐶 ∈ Ring)
14		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝐶) = (mulGrp‘𝐶)
15	14	ringmgp 19303	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → (mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd)
16	13, 15	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd)
17		mat2pmatbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
18		mat2pmatbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
19		mat2pmatbas0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)
20	17, 2, 18, 8, 11, 19	mat2pmatf 21336	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵⟶𝐻)
21	1, 20	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇:𝐵⟶𝐻)
22	17, 2, 18, 8, 11, 19	mat2pmatmul 21339	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝐶)(𝑇‘𝑦)))
23	17, 2, 18, 8, 11, 19	mat2pmat1 21340	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶))
24	1, 23	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶))
25	21, 22, 24	3jca 1124	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑇:𝐵⟶𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝐶)(𝑇‘𝑦)) ∧ (𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶)))
26	5, 18	mgpbas 19245	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐴))
27	14, 19	mgpbas 19245	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Base‘(mulGrp‘𝐶))
28		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
29	5, 28	mgpplusg 19243	. . 3 ⊢ (.r‘𝐴) = (+g‘(mulGrp‘𝐴))
30		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐶) = (.r‘𝐶)
31	14, 30	mgpplusg 19243	. . 3 ⊢ (.r‘𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝐶))
32		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
33	5, 32	ringidval 19253	. . 3 ⊢ (1r‘𝐴) = (0g‘(mulGrp‘𝐴))
34		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐶) = (1r‘𝐶)
35	14, 34	ringidval 19253	. . 3 ⊢ (1r‘𝐶) = (0g‘(mulGrp‘𝐶))
36	26, 27, 29, 31, 33, 35	ismhm 17958	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝐶)) ↔ (((mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd) ∧ (𝑇:𝐵⟶𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝐶)(𝑇‘𝑦)) ∧ (𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶))))
37	7, 16, 25, 36	syl21anbrc 1340	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Fincfn 8509  Basecbs 16483  ._rcmulr 16566  Mndcmnd 17911   MndHom cmhm 17954  mulGrpcmgp 19239  1_rcur 19251  Ringcrg 19297  CRingccrg 19298  Poly₁cpl1 20345   Mat cmat 21016   matToPolyMat cmat2pmat 21312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-ofr 7410  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-sup 8906  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-hash 13692  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-rnghom 19467  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-assa 20085  df-ascl 20087  df-psr 20136  df-mpl 20138  df-opsr 20140  df-psr1 20348  df-ply1 20350  df-dsmm 20876  df-frlm 20891  df-mamu 20995  df-mat 21017  df-mat2pmat 21315

This theorem is referenced by:  mat2pmatrhm  21342  m2cpmmhm  21353  cayhamlem4  21496