MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfposr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfposr 23338
Description: Converse to mbfpos 23337. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfpos.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
mbfposr.2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
mbfposr.3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfposr (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mbfposr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfpos.1 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 eqid 2621 . . 3 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
31, 2fmptd 6346 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ)
4 mbfposr.2 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
5 0re 9991 . . . 4 0 ∈ ℝ
6 ifcl 4107 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
71, 5, 6sylancl 693 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
84, 7mbfdm2 23324 . 2 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
9 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 < 0)
10 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
1110lt0neg1d 10548 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < 0 ↔ 0 < -𝑦))
129, 11mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → 0 < -𝑦)
1312biantrurd 529 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝐵 < -𝑦 ↔ (0 < -𝑦 ∧ -𝐵 < -𝑦)))
14 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → 𝜑)
1514, 1sylan 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
1610, 15ltnegd 10556 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝑦))
17 0red 9992 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ∈ ℝ)
1815renegcld 10408 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
1910renegcld 10408 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ)
20 maxlt 11974 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ ℝ) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦 ↔ (0 < -𝑦 ∧ -𝐵 < -𝑦)))
2117, 18, 19, 20syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦 ↔ (0 < -𝑦 ∧ -𝐵 < -𝑦)))
2213, 16, 213bitr4rd 301 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦𝑦 < 𝐵))
231renegcld 10408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
24 ifcl 4107 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ)
2523, 5, 24sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ)
2614, 25sylan 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ)
2726biantrurd 529 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦 ↔ (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦)))
2815biantrurd 529 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < 𝐵 ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐵)))
2922, 27, 283bitr3d 298 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → ((if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐵)))
3019rexrd 10040 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ*)
31 elioomnf 12217 . . . . . . . . . . 11 (-𝑦 ∈ ℝ* → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦)))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦)))
3310rexrd 10040 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
34 elioopnf 12216 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐵)))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐵)))
3629, 32, 353bitr4d 300 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ 𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞)))
37 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
38 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))
3938fvmpt2 6253 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 ∧ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) = if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))
4037, 25, 39syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) = if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))
4140eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦)))
4214, 41sylan 488 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦)))
432fvmpt2 6253 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
4437, 1, 43syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
4544eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞)))
4614, 45sylan 488 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞)))
4736, 42, 463bitr4d 300 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞)))
4847pm5.32da 672 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → ((𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)-𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
4925, 38fmptd 6346 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ)
50 ffn 6007 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) Fn 𝐴)
51 elpreima 6298 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)-𝑦))))
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)-𝑦))))
5352ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)-𝑦))))
54 ffn 6007 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ → (𝑥𝐴𝐵) Fn 𝐴)
55 elpreima 6298 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐵) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
563, 54, 553syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
5756ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
5848, 53, 573bitr4d 300 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞))))
5958alrimiv 1852 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞))))
60 nfmpt1 4712 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))
6160nfcnv 5266 . . . . . . 7 𝑥(𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))
62 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑥(-∞(,)-𝑦)
6361, 62nfima 5438 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦))
64 nfmpt1 4712 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
6564nfcnv 5266 . . . . . . 7 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
66 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑥(𝑦(,)+∞)
6765, 66nfima 5438 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞))
6863, 67cleqf 2786 . . . . 5 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞))))
6959, 68sylibr 224 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)))
70 mbfposr.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ MblFn)
71 mbfima 23318 . . . . . 6 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol)
7270, 49, 71syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol)
7372ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol)
7469, 73eqeltrrd 2699 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
75 0red 9992 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ∈ ℝ)
76 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → 𝜑)
7776, 1sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
78 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
79 maxle 11972 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ≤ 𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦𝐵𝑦)))
8075, 77, 78, 79syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ≤ 𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦𝐵𝑦)))
81 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝑦)
8281biantrurd 529 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦𝐵𝑦)))
8380, 82bitr4d 271 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ≤ 𝑦𝐵𝑦))
8483notbid 308 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝐵𝑦))
8577, 5, 6sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
8678, 85ltnled 10135 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ↔ ¬ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ≤ 𝑦))
8778, 77ltnled 10135 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝑦))
8884, 86, 873bitr4d 300 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ↔ 𝑦 < 𝐵))
8985biantrurd 529 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ↔ (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))))
9077biantrurd 529 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < 𝐵 ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐵)))
9188, 89, 903bitr3d 298 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → ((if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐵)))
9278rexrd 10040 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
93 elioopnf 12216 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))))
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))))
9592, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐵)))
9691, 94, 953bitr4d 300 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞)))
97 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
9897fvmpt2 6253 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 ∧ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) = if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
9937, 7, 98syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) = if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
10099eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (𝑦(,)+∞)))
10176, 100sylan 488 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (𝑦(,)+∞)))
10276, 45sylan 488 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞)))
10396, 101, 1023bitr4d 300 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞)))
104103pm5.32da 672 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → ((𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
1057, 97fmptd 6346 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ)
106 ffn 6007 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) Fn 𝐴)
107 elpreima 6298 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
108105, 106, 1073syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
109108ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
11056ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
111104, 109, 1103bitr4d 300 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞))))
112111alrimiv 1852 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞))))
113 nfmpt1 4712 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
114113nfcnv 5266 . . . . . . 7 𝑥(𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
115114, 66nfima 5438 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞))
116115, 67cleqf 2786 . . . . 5 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞))))
117112, 116sylibr 224 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)))
118 mbfima 23318 . . . . . 6 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
1194, 105, 118syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
120119ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
121117, 120eqeltrrd 2699 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
122 simpr 477 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
123 0red 9992 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
12474, 121, 122, 123ltlecasei 10096 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
125 0red 9992 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ∈ ℝ)
126 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → 𝜑)
127126, 1sylan 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
128 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
129 maxlt 11974 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦 ↔ (0 < 𝑦𝐵 < 𝑦)))
130125, 127, 128, 129syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦 ↔ (0 < 𝑦𝐵 < 𝑦)))
131 simplr 791 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 0 < 𝑦)
132131biantrurd 529 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 < 𝑦 ↔ (0 < 𝑦𝐵 < 𝑦)))
133130, 132bitr4d 271 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦𝐵 < 𝑦))
134126, 7sylan 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
135134biantrurd 529 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦 ↔ (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦)))
136127biantrurd 529 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 < 𝑦 ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝑦)))
137133, 135, 1363bitr3d 298 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → ((if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝑦)))
138128rexrd 10040 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
139 elioomnf 12217 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦)))
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦)))
141 elioomnf 12217 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝑦)))
142138, 141syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝑦)))
143137, 140, 1423bitr4d 300 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ 𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦)))
14499eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (-∞(,)𝑦)))
145126, 144sylan 488 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (-∞(,)𝑦)))
14644eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ 𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦)))
147126, 146sylan 488 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ 𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦)))
148143, 145, 1473bitr4d 300 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦)))
149148pm5.32da 672 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → ((𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
150 elpreima 6298 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
151105, 106, 1503syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
152151ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
153 elpreima 6298 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐵) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
1543, 54, 1533syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
155154ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
156149, 152, 1553bitr4d 300 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦))))
157156alrimiv 1852 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦))))
158 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑥(-∞(,)𝑦)
159114, 158nfima 5438 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦))
16065, 158nfima 5438 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦))
161159, 160cleqf 2786 . . . . 5 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦))))
162157, 161sylibr 224 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)))
163 mbfima 23318 . . . . . 6 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
1644, 105, 163syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
165164ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
166162, 165eqeltrrd 2699 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
167 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ≤ 0)
168 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
169168le0neg1d 10550 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑦))
170167, 169mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ≤ -𝑦)
171170biantrurd 529 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝐵 ≤ -𝑦 ↔ (0 ≤ -𝑦 ∧ -𝐵 ≤ -𝑦)))
172 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → 𝜑)
173172, 1sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
174168, 173lenegd 10557 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝑦))
175 0red 9992 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ∈ ℝ)
176173renegcld 10408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
177168renegcld 10408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ)
178 maxle 11972 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ ℝ) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ≤ -𝑦 ↔ (0 ≤ -𝑦 ∧ -𝐵 ≤ -𝑦)))
179175, 176, 177, 178syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ≤ -𝑦 ↔ (0 ≤ -𝑦 ∧ -𝐵 ≤ -𝑦)))
180171, 174, 1793bitr4rd 301 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ≤ -𝑦𝑦𝐵))
181180notbid 308 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ≤ -𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝐵))
182172, 25sylan 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ)
183177, 182ltnled 10135 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝑦 < if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ↔ ¬ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ≤ -𝑦))
184173, 168ltnled 10135 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝐵))
185181, 183, 1843bitr4d 300 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝑦 < if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ↔ 𝐵 < 𝑦))
186182biantrurd 529 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝑦 < if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ↔ (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))))
187173biantrurd 529 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 < 𝑦 ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝑦)))
188185, 186, 1873bitr3d 298 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → ((if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝑦)))
189177rexrd 10040 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ*)
190 elioopnf 12216 . . . . . . . . . . 11 (-𝑦 ∈ ℝ* → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))))
191189, 190syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))))
192168rexrd 10040 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
193192, 141syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝑦)))
194188, 191, 1933bitr4d 300 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ 𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦)))
19540eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞)))
196172, 195sylan 488 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞)))
197172, 146sylan 488 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ 𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦)))
198194, 196, 1973bitr4d 300 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦)))
199198pm5.32da 672 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → ((𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
200 elpreima 6298 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-𝑦(,)+∞))))
20149, 50, 2003syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-𝑦(,)+∞))))
202201ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-𝑦(,)+∞))))
203154ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
204199, 202, 2033bitr4d 300 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦))))
205204alrimiv 1852 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦))))
206 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑥(-𝑦(,)+∞)
20761, 206nfima 5438 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞))
208207, 160cleqf 2786 . . . . 5 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦))))
209205, 208sylibr 224 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)))
210 mbfima 23318 . . . . . 6 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
21170, 49, 210syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
212211ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
213209, 212eqeltrrd 2699 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
214166, 213, 123, 122ltlecasei 10096 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
2153, 8, 124, 214ismbf2d 23327 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  wal 1478   = wceq 1480  wcel 1987  ifcif 4063   class class class wbr 4618  cmpt 4678  ccnv 5078  dom cdm 5079  cima 5082   Fn wfn 5847  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  cr 9886  0cc0 9887  +∞cpnf 10022  -∞cmnf 10023  *cxr 10024   < clt 10025  cle 10026  -cneg 10218  (,)cioo 12124  volcvol 23151  MblFncmbf 23302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-xadd 11898  df-ioo 12128  df-ico 12130  df-icc 12131  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-seq 12749  df-exp 12808  df-hash 13065  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-clim 14160  df-sum 14358  df-xmet 19667  df-met 19668  df-ovol 23152  df-vol 23153  df-mbf 23307
This theorem is referenced by:  mbfposb  23339
  Copyright terms: Public domain W3C validator