Theorem mpfconst 20310

Description: Constants are multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpfconst.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mpfconst.q	⊢ 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mpfconst.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mpfconst.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
mpfconst.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mpfconst.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mpfconst	⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}) ∈ 𝑄)

Proof of Theorem mpfconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2820	. . . 4 ⊢ ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) = (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))
3		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾s 𝑅) = (𝑆 ↾s 𝑅)
4		mpfconst.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) = (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))
6		mpfconst.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		mpfconst.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
8		mpfconst.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9		mpfconst.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	evlssca 20298	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}))
11		eqid 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))
12	1, 2, 3, 11, 4	evlsrhm 20297	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))))
13	6, 7, 8, 12	syl3anc 1366	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))))
14		eqid 2820	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))
15		eqid 2820	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼)))
16	14, 15	rhmf 19474	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))))
17		ffn 6511	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
18	13, 16, 17	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
19	3	subrgring 19534	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring)
20	8, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring)
21		eqid 2820	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) = (Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))
22	2	mplring 20228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring) → (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) ∈ Ring)
23	2	mpllmod 20227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring) → (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) ∈ LMod)
24		eqid 2820	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) = (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
25	5, 21, 22, 23, 24, 14	asclf 20107	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring) → (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))):(Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))⟶(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
26	6, 20, 25	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))):(Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))⟶(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
27	4	subrgss 19532	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
28	3, 4	ressbas2 16551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ⊆ 𝐵 → 𝑅 = (Base‘(𝑆 ↾s 𝑅)))
29	8, 27, 28	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘(𝑆 ↾s 𝑅)))
30		ovexd 7188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ V)
31	2, 6, 30	mplsca 20221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝑅) = (Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
32	31	fveq2d 6671	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑆 ↾s 𝑅)) = (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))))
33	29, 32	eqtrd 2855	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))))
34	9, 33	eleqtrd 2914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))))
35	26, 34	ffvelrnd 6849	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
36		fnfvelrn 6845	. . . 4 ⊢ ((((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) ∧ ((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))‘𝑋)) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
37	18, 35, 36	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))‘𝑋)) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
38	10, 37	eqeltrrd 2913	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
39		mpfconst.q	. 2 ⊢ 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
40	38, 39	eleqtrrdi 2923	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}) ∈ 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  Vcvv 3493   ⊆ wss 3933  {csn 4564   × cxp 5550  ran crn 5553   Fn wfn 6347  ⟶wf 6348  ‘cfv 6352  (class class class)co 7153   ↑_m cmap 8403  Basecbs 16479   ↾_s cress 16480  Scalarcsca 16564   ↑_s cpws 16716  Ringcrg 19293  CRingccrg 19294   RingHom crh 19460  SubRingcsubrg 19527  algSccascl 20080   mPoly cmpl 20129   evalSub ces 20280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7458  ax-cnex 10590  ax-resscn 10591  ax-1cn 10592  ax-icn 10593  ax-addcl 10594  ax-addrcl 10595  ax-mulcl 10596  ax-mulrcl 10597  ax-mulcom 10598  ax-addass 10599  ax-mulass 10600  ax-distr 10601  ax-i2m1 10602  ax-1ne0 10603  ax-1rid 10604  ax-rnegex 10605  ax-rrecex 10606  ax-cnre 10607  ax-pre-lttri 10608  ax-pre-lttrn 10609  ax-pre-ltadd 10610  ax-pre-mulgt0 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4465  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4836  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5457  df-eprel 5462  df-po 5471  df-so 5472  df-fr 5511  df-se 5512  df-we 5513  df-xp 5558  df-rel 5559  df-cnv 5560  df-co 5561  df-dm 5562  df-rn 5563  df-res 5564  df-ima 5565  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7111  df-ov 7156  df-oprab 7157  df-mpo 7158  df-of 7406  df-ofr 7407  df-om 7578  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7828  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-2o 8100  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-pm 8406  df-ixp 8459  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-fsupp 8831  df-sup 8903  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10674  df-mnf 10675  df-xr 10676  df-ltxr 10677  df-le 10678  df-sub 10869  df-neg 10870  df-nn 11636  df-2 11698  df-3 11699  df-4 11700  df-5 11701  df-6 11702  df-7 11703  df-8 11704  df-9 11705  df-n0 11896  df-z 11980  df-dec 12097  df-uz 12242  df-fz 12891  df-fzo 13032  df-seq 13368  df-hash 13689  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-hom 16585  df-cco 16586  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-prds 16717  df-pws 16719  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-srg 19252  df-ring 19295  df-cring 19296  df-rnghom 19463  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-assa 20081  df-asp 20082  df-ascl 20083  df-psr 20132  df-mvr 20133  df-mpl 20134  df-evls 20282

This theorem is referenced by:  mzpmfp  39419