MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpfconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpfconst 19462
Description: Constants are multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpfconst.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
mpfconst.q 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mpfconst.i (𝜑𝐼𝑉)
mpfconst.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
mpfconst.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mpfconst.x (𝜑𝑋𝑅)
Assertion
Ref Expression
mpfconst (𝜑 → ((𝐵𝑚 𝐼) × {𝑋}) ∈ 𝑄)

Proof of Theorem mpfconst
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . 4 ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2 eqid 2621 . . . 4 (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) = (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))
3 eqid 2621 . . . 4 (𝑆s 𝑅) = (𝑆s 𝑅)
4 mpfconst.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
5 eqid 2621 . . . 4 (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) = (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))
6 mpfconst.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
7 mpfconst.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
8 mpfconst.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9 mpfconst.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑅)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9evlssca 19454 . . 3 (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))‘𝑋)) = ((𝐵𝑚 𝐼) × {𝑋}))
11 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼)) = (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))
121, 2, 3, 11, 4evlsrhm 19453 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))))
136, 7, 8, 12syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))))
14 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))
15 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))) = (Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 𝐼)))
1614, 15rhmf 18658 . . . . 5 (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))))
17 ffn 6007 . . . . 5 (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
1813, 16, 173syl 18 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
193subrgring 18715 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆s 𝑅) ∈ Ring)
208, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆s 𝑅) ∈ Ring)
21 eqid 2621 . . . . . . 7 (Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) = (Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))
222mplring 19384 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑆s 𝑅) ∈ Ring) → (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) ∈ Ring)
232mpllmod 19383 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑆s 𝑅) ∈ Ring) → (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) ∈ LMod)
24 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))) = (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
255, 21, 22, 23, 24, 14asclf 19269 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑆s 𝑅) ∈ Ring) → (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))):(Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))⟶(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
266, 20, 25syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))):(Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))⟶(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
274subrgss 18713 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅𝐵)
283, 4ressbas2 15863 . . . . . . . 8 (𝑅𝐵𝑅 = (Base‘(𝑆s 𝑅)))
298, 27, 283syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 = (Base‘(𝑆s 𝑅)))
30 ovexd 6640 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆s 𝑅) ∈ V)
312, 6, 30mplsca 19377 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆s 𝑅) = (Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
3231fveq2d 6157 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(𝑆s 𝑅)) = (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))))
3329, 32eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))))
349, 33eleqtrd 2700 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))))
3526, 34ffvelrnd 6321 . . . 4 (𝜑 → ((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
36 fnfvelrn 6317 . . . 4 ((((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) ∧ ((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))‘𝑋)) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
3718, 35, 36syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))‘𝑋)) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
3810, 37eqeltrrd 2699 . 2 (𝜑 → ((𝐵𝑚 𝐼) × {𝑋}) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
39 mpfconst.q . 2 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
4038, 39syl6eleqr 2709 1 (𝜑 → ((𝐵𝑚 𝐼) × {𝑋}) ∈ 𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3189  wss 3559  {csn 4153   × cxp 5077  ran crn 5080   Fn wfn 5847  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  𝑚 cmap 7809  Basecbs 15792  s cress 15793  Scalarcsca 15876  s cpws 16039  Ringcrg 18479  CRingccrg 18480   RingHom crh 18644  SubRingcsubrg 18708  algSccascl 19243   mPoly cmpl 19285   evalSub ces 19436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-ofr 6858  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-sup 8300  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-hash 13066  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-hom 15898  df-cco 15899  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-prds 16040  df-pws 16042  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-mhm 17267  df-submnd 17268  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-sbg 17359  df-mulg 17473  df-subg 17523  df-ghm 17590  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-abl 18128  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-srg 18438  df-ring 18481  df-cring 18482  df-rnghom 18647  df-subrg 18710  df-lmod 18797  df-lss 18865  df-lsp 18904  df-assa 19244  df-asp 19245  df-ascl 19246  df-psr 19288  df-mvr 19289  df-mpl 19290  df-evls 19438
This theorem is referenced by:  mzpmfp  36825
  Copyright terms: Public domain W3C validator