Theorem mzpmfp 39393

Description: Relationship between multivariate Z-polynomials and general multivariate polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mzpmfp	⊢ (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring)

Proof of Theorem mzpmfp

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 20623	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 eval ℤring) = (𝐼 eval ℤring)
3	2, 1	evlval 20308	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 eval ℤring) = ((𝐼 evalSub ℤring)‘ℤ)
4	3	rneqi 5807	. . . . . 6 ⊢ ran (𝐼 eval ℤring) = ran ((𝐼 evalSub ℤring)‘ℤ)
5		simpl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ V)
6		zringcrng 20619	. . . . . . 7 ⊢ ℤring ∈ CRing
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ℤring ∈ CRing)
8		zringring 20620	. . . . . . . 8 ⊢ ℤring ∈ Ring
9	1	subrgid 19537	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℤring)
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
12		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝑓 ∈ ℤ)
13	1, 4, 5, 7, 11, 12	mpfconst 20314	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑓}) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
14		simpl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
15	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) → ℤring ∈ CRing)
16	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
17		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) → 𝑓 ∈ 𝐼)
18	1, 4, 14, 15, 16, 17	mpfproj 20315	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
19		simp2r 1196	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
20		simp3r 1198	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
21		zringplusg 20624	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘ℤring)
22	4, 21	mpfaddcl 20318	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
23	19, 20, 22	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
24		zringmulr 20626	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℤring)
25	4, 24	mpfmulcl 20319	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
26	19, 20, 25	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
27		eleq1 2900	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑓}) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑓}) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
28		eleq1 2900	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑓)) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
29		eleq1 2900	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑓 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
30		eleq1 2900	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑔 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
31		eleq1 2900	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑓 ∘f + 𝑔) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
32		eleq1 2900	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑓 ∘f · 𝑔) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
33		eleq1 2900	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
34	13, 18, 23, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33	mzpindd 39392	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
35		simprlr 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼))
36		simprrr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼))
37		mzpadd 39384	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → (𝑥 ∘f + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
38	35, 36, 37	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → (𝑥 ∘f + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
39		mzpmul 39385	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → (𝑥 ∘f · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
40	35, 36, 39	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → (𝑥 ∘f · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
41		eleq1 2900	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
42		eleq1 2900	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥)) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
43		eleq1 2900	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
44		eleq1 2900	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
45		eleq1 2900	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑥 ∘f + 𝑦) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑥 ∘f + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
46		eleq1 2900	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑥 ∘f · 𝑦) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑥 ∘f · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
47		eleq1 2900	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
48		mzpconst 39381	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼))
49	48	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼))
50		mzpproj 39383	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼))
51	50	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼))
52		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
53	1, 21, 24, 4, 38, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 52	mpfind 20320	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼))
54	34, 53	impbida 799	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
55	54	eqrdv 2819	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring))
56		fvprc 6663	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ∅)
57		df-evl 20287	. . . . . . 7 ⊢ eval = (𝑎 ∈ V, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑎 evalSub 𝑏)‘(Base‘𝑏)))
58	57	reldmmpo 7285	. . . . . 6 ⊢ Rel dom eval
59	58	ovprc1 7195	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐼 eval ℤring) = ∅)
60	59	rneqd 5808	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → ran (𝐼 eval ℤring) = ran ∅)
61		rn0 5796	. . . 4 ⊢ ran ∅ = ∅
62	60, 61	syl6eq 2872	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → ran (𝐼 eval ℤring) = ∅)
63	56, 62	eqtr4d 2859	. 2 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring))
64	55, 63	pm2.61i 184	1 ⊢ (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494  ∅c0 4291  {csn 4567   ↦ cmpt 5146   × cxp 5553  ran crn 5556  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∘_f cof 7407   ↑_m cmap 8406   + caddc 10540   · cmul 10542  ℤcz 11982  Basecbs 16483  Ringcrg 19297  CRingccrg 19298  SubRingcsubrg 19531   evalSub ces 20284   eval cevl 20285  ℤ_ringzring 20617  mzPolycmzp 39368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-ofr 7410  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-sup 8906  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-hash 13692  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-srg 19256  df-ring 19299  df-cring 19300  df-rnghom 19467  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-assa 20085  df-asp 20086  df-ascl 20087  df-psr 20136  df-mvr 20137  df-mpl 20138  df-evls 20286  df-evl 20287  df-cnfld 20546  df-zring 20618  df-mzpcl 39369  df-mzp 39370

This theorem is referenced by: (None)