Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpmfp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpmfp 36829
 Description: Relationship between multivariate Z-polynomials and general multivariate polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
mzpmfp (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring)

Proof of Theorem mzpmfp
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zringbas 19764 . . . . . 6 ℤ = (Base‘ℤring)
2 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝐼 eval ℤring) = (𝐼 eval ℤring)
32, 1evlval 19464 . . . . . . 7 (𝐼 eval ℤring) = ((𝐼 evalSub ℤring)‘ℤ)
43rneqi 5322 . . . . . 6 ran (𝐼 eval ℤring) = ran ((𝐼 evalSub ℤring)‘ℤ)
5 simpl 473 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ V)
6 zringcrng 19760 . . . . . . 7 ring ∈ CRing
76a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ℤring ∈ CRing)
8 zringring 19761 . . . . . . . 8 ring ∈ Ring
91subrgid 18722 . . . . . . . 8 (ℤring ∈ Ring → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 ℤ ∈ (SubRing‘ℤring)
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
12 simpr 477 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝑓 ∈ ℤ)
131, 4, 5, 7, 11, 12mpfconst 19470 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑𝑚 𝐼) × {𝑓}) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
14 simpl 473 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓𝐼) → 𝐼 ∈ V)
156a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓𝐼) → ℤring ∈ CRing)
1610a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓𝐼) → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
17 simpr 477 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓𝐼) → 𝑓𝐼)
181, 4, 14, 15, 16, 17mpfproj 19471 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓𝐼) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐼) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
19 simp2r 1086 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
20 simp3r 1088 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
21 zringplusg 19765 . . . . . . 7 + = (+g‘ℤring)
224, 21mpfaddcl 19474 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → (𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
2319, 20, 22syl2anc 692 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → (𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
24 zringmulr 19767 . . . . . . 7 · = (.r‘ℤring)
254, 24mpfmulcl 19475 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
2619, 20, 25syl2anc 692 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
27 eleq1 2686 . . . . 5 (𝑏 = ((ℤ ↑𝑚 𝐼) × {𝑓}) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ ((ℤ ↑𝑚 𝐼) × {𝑓}) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
28 eleq1 2686 . . . . 5 (𝑏 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐼) ↦ (𝑔𝑓)) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐼) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
29 eleq1 2686 . . . . 5 (𝑏 = 𝑓 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
30 eleq1 2686 . . . . 5 (𝑏 = 𝑔 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
31 eleq1 2686 . . . . 5 (𝑏 = (𝑓𝑓 + 𝑔) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
32 eleq1 2686 . . . . 5 (𝑏 = (𝑓𝑓 · 𝑔) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
33 eleq1 2686 . . . . 5 (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
3413, 18, 23, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33mzpindd 36828 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
35 simprlr 802 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼))
36 simprrr 804 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼))
37 mzpadd 36820 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → (𝑥𝑓 + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
3835, 36, 37syl2anc 692 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → (𝑥𝑓 + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
39 mzpmul 36821 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → (𝑥𝑓 · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
4035, 36, 39syl2anc 692 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → (𝑥𝑓 · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
41 eleq1 2686 . . . . 5 (𝑏 = ((ℤ ↑𝑚 𝐼) × {𝑥}) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ ((ℤ ↑𝑚 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
42 eleq1 2686 . . . . 5 (𝑏 = (𝑦 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐼) ↦ (𝑦𝑥)) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑦 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐼) ↦ (𝑦𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
43 eleq1 2686 . . . . 5 (𝑏 = 𝑥 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
44 eleq1 2686 . . . . 5 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
45 eleq1 2686 . . . . 5 (𝑏 = (𝑥𝑓 + 𝑦) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑥𝑓 + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
46 eleq1 2686 . . . . 5 (𝑏 = (𝑥𝑓 · 𝑦) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑥𝑓 · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
47 eleq1 2686 . . . . 5 (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
48 mzpconst 36817 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑𝑚 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼))
4948adantlr 750 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑𝑚 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼))
50 mzpproj 36819 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐼) ↦ (𝑦𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼))
5150adantlr 750 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐼) ↦ (𝑦𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼))
52 simpr 477 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
531, 21, 24, 4, 38, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 52mpfind 19476 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼))
5434, 53impbida 876 . . 3 (𝐼 ∈ V → (𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
5554eqrdv 2619 . 2 (𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring))
56 fvprc 6152 . . 3 𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ∅)
57 df-evl 19447 . . . . . . 7 eval = (𝑎 ∈ V, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑎 evalSub 𝑏)‘(Base‘𝑏)))
5857reldmmpt2 6736 . . . . . 6 Rel dom eval
5958ovprc1 6649 . . . . 5 𝐼 ∈ V → (𝐼 eval ℤring) = ∅)
6059rneqd 5323 . . . 4 𝐼 ∈ V → ran (𝐼 eval ℤring) = ran ∅)
61 rn0 5347 . . . 4 ran ∅ = ∅
6260, 61syl6eq 2671 . . 3 𝐼 ∈ V → ran (𝐼 eval ℤring) = ∅)
6356, 62eqtr4d 2658 . 2 𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring))
6455, 63pm2.61i 176 1 (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3190  ∅c0 3897  {csn 4155   ↦ cmpt 4683   × cxp 5082  ran crn 5085  ⟶wf 5853  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615   ∘𝑓 cof 6860   ↑𝑚 cmap 7817   + caddc 9899   · cmul 9901  ℤcz 11337  Basecbs 15800  Ringcrg 18487  CRingccrg 18488  SubRingcsubrg 18716   evalSub ces 19444   eval cevl 19445  ℤringzring 19758  mzPolycmzp 36804 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-addf 9975  ax-mulf 9976 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-ofr 6863  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-sup 8308  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-hash 13074  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-prds 16048  df-pws 16050  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mhm 17275  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-mulg 17481  df-subg 17531  df-ghm 17598  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-srg 18446  df-ring 18489  df-cring 18490  df-rnghom 18655  df-subrg 18718  df-lmod 18805  df-lss 18873  df-lsp 18912  df-assa 19252  df-asp 19253  df-ascl 19254  df-psr 19296  df-mvr 19297  df-mpl 19298  df-evls 19446  df-evl 19447  df-cnfld 19687  df-zring 19759  df-mzpcl 36805  df-mzp 36806 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator