MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpfproj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpfproj 19450
Description: Projections are multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpfconst.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
mpfconst.q 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mpfconst.i (𝜑𝐼𝑉)
mpfconst.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
mpfconst.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mpfproj.j (𝜑𝐽𝐼)
Assertion
Ref Expression
mpfproj (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑓𝐽)) ∈ 𝑄)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐼   𝑓,𝐽   𝑅,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑄(𝑓)

Proof of Theorem mpfproj
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . 3 ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2 eqid 2621 . . 3 (𝐼 mVar (𝑆s 𝑅)) = (𝐼 mVar (𝑆s 𝑅))
3 eqid 2621 . . 3 (𝑆s 𝑅) = (𝑆s 𝑅)
4 mpfconst.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
5 mpfconst.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
6 mpfconst.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
7 mpfconst.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
8 mpfproj.j . . 3 (𝜑𝐽𝐼)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8evlsvar 19442 . 2 (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((𝐼 mVar (𝑆s 𝑅))‘𝐽)) = (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑓𝐽)))
10 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) = (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))
11 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼)) = (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))
121, 10, 3, 11, 4evlsrhm 19440 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))))
135, 6, 7, 12syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))))
14 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))
15 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))) = (Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 𝐼)))
1614, 15rhmf 18647 . . . . 5 (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))))
17 ffn 6002 . . . . 5 (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
1813, 16, 173syl 18 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
193subrgring 18704 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆s 𝑅) ∈ Ring)
207, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆s 𝑅) ∈ Ring)
2110, 2, 14, 5, 20, 8mvrcl 19368 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼 mVar (𝑆s 𝑅))‘𝐽) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
22 fnfvelrn 6312 . . . 4 ((((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) ∧ ((𝐼 mVar (𝑆s 𝑅))‘𝐽) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((𝐼 mVar (𝑆s 𝑅))‘𝐽)) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
2318, 21, 22syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((𝐼 mVar (𝑆s 𝑅))‘𝐽)) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
24 mpfconst.q . . 3 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2523, 24syl6eleqr 2709 . 2 (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((𝐼 mVar (𝑆s 𝑅))‘𝐽)) ∈ 𝑄)
269, 25eqeltrrd 2699 1 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑓𝐽)) ∈ 𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  cmpt 4673  ran crn 5075   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑚 cmap 7802  Basecbs 15781  s cress 15782  s cpws 16028  Ringcrg 18468  CRingccrg 18469   RingHom crh 18633  SubRingcsubrg 18697   mVar cmvr 19271   mPoly cmpl 19272   evalSub ces 19423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-ofr 6851  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-hom 15887  df-cco 15888  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-prds 16029  df-pws 16031  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-srg 18427  df-ring 18470  df-cring 18471  df-rnghom 18636  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-assa 19231  df-asp 19232  df-ascl 19233  df-psr 19275  df-mvr 19276  df-mpl 19277  df-evls 19425
This theorem is referenced by:  mzpmfp  36790
  Copyright terms: Public domain W3C validator