Theorem normgt0 28214

Description: The norm of nonzero vector is positive. (Contributed by NM, 10-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normgt0	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ 0 < (normℎ‘𝐴)))

Proof of Theorem normgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hiidrcl 28182	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
2	1	adantr 472	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
3		ax-his4 28172	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
4		sqrtgt0 14119	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 ·ih 𝐴)) → 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
5	2, 3, 4	syl2anc 696	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
6	5	ex 449	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ → 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
7		oveq1 6772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝐴) = (0ℎ ·ih 𝐴))
8		hi01 28183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = 0)
9	7, 8	sylan9eqr 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0ℎ) → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0)
10	9	fveq2d 6308	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0ℎ) → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = (√‘0))
11		sqrt0 14102	. . . . . . 7 ⊢ (√‘0) = 0
12	10, 11	syl6eq 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0ℎ) → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0)
13	12	ex 449	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0))
14		hiidge0 28185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))
15	1, 14	resqrtcld 14276	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) ∈ ℝ)
16		0re 10153	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
17		lttri3 10234	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0 ↔ (¬ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) < 0 ∧ ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))))
18	15, 16, 17	sylancl 697	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0 ↔ (¬ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) < 0 ∧ ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))))
19		simpr 479	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) < 0 ∧ ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))) → ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
20	18, 19	syl6bi 243	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0 → ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
21	13, 20	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
22	21	necon2ad 2911	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) → 𝐴 ≠ 0ℎ))
23	6, 22	impbid 202	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
24		normval 28211	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) = (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
25	24	breq2d 4772	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 < (normℎ‘𝐴) ↔ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
26	23, 25	bitr4d 271	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ 0 < (normℎ‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103   ≠ wne 2896   class class class wbr 4760  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  ℝcr 10048  0cc0 10049   < clt 10187  √csqrt 14093   ℋchil 28006   ·_ih csp 28009  norm_ℎcno 28010  0_ℎc0v 28011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-hv0cl 28090  ax-hvmul0 28097  ax-hfi 28166  ax-his1 28169  ax-his3 28171  ax-his4 28172

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-sup 8464  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-seq 12917  df-exp 12976  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-hnorm 28055

This theorem is referenced by:  norm-i  28216  norm1  28336  nmlnop0iALT  29084  nmbdoplbi  29113  nmcoplbi  29117  nmbdfnlbi  29138  nmcfnlbi  29141  branmfn  29194  strlem1  29339