Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofldchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofldchr 30123
 Description: The characteristic of an ordered field is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 6-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
ofldchr (𝐹 ∈ oField → (chr‘𝐹) = 0)

Proof of Theorem ofldchr
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . 3 (od‘𝐹) = (od‘𝐹)
2 eqid 2760 . . 3 (1r𝐹) = (1r𝐹)
3 eqid 2760 . . 3 (chr‘𝐹) = (chr‘𝐹)
41, 2, 3chrval 20075 . 2 ((od‘𝐹)‘(1r𝐹)) = (chr‘𝐹)
5 ofldfld 30119 . . . . 5 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Field)
6 isfld 18958 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
76simplbi 478 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ DivRing)
8 drngring 18956 . . . . 5 (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
95, 7, 83syl 18 . . . 4 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Ring)
10 eqid 2760 . . . . 5 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
1110, 2ringidcl 18768 . . . 4 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
12 eqid 2760 . . . . 5 (.g𝐹) = (.g𝐹)
13 eqid 2760 . . . . 5 (0g𝐹) = (0g𝐹)
14 eqid 2760 . . . . 5 {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)}
1510, 12, 13, 1, 14odval 18153 . . . 4 ((1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹) → ((od‘𝐹)‘(1r𝐹)) = if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)}, ℝ, < )))
169, 11, 153syl 18 . . 3 (𝐹 ∈ oField → ((od‘𝐹)‘(1r𝐹)) = if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)}, ℝ, < )))
17 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) = (1(.g𝐹)(1r𝐹)))
1817breq2d 4816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) ↔ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1(.g𝐹)(1r𝐹))))
1918imbi2d 329 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → ((𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1(.g𝐹)(1r𝐹)))))
20 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) = (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))
2120breq2d 4816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) ↔ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
2221imbi2d 329 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))))
23 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) = ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))
2423breq2d 4816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) ↔ (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹))))
2524imbi2d 329 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))))
26 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑦 → (𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) = (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)))
2726breq2d 4816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑦 → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) ↔ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹))))
2827imbi2d 329 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑦 → ((𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)))))
29 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (lt‘𝐹) = (lt‘𝐹)
3013, 2, 29ofldlt1 30122 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1r𝐹))
319, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ oField → (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
3210, 12mulg1 17749 . . . . . . . . . . . . 13 ((1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹) → (1(.g𝐹)(1r𝐹)) = (1r𝐹))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ oField → (1(.g𝐹)(1r𝐹)) = (1r𝐹))
3430, 33breqtrrd 4832 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1(.g𝐹)(1r𝐹)))
35 ofldtos 30120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Toset)
36 tospos 29967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Toset → 𝐹 ∈ Poset)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Poset)
3837ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ Poset)
39 ringgrp 18752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
409, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Grp)
4140ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ Grp)
4210, 13grpidcl 17651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Grp → (0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
44 grpmnd 17630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Grp → 𝐹 ∈ Mnd)
45 mndmgm 17501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Mnd → 𝐹 ∈ Mgm)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ Grp → 𝐹 ∈ Mgm)
4741, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ Mgm)
48 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝑚 ∈ ℕ)
4931ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
5010, 12mulgnncl 17757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ Mgm ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
5147, 48, 49, 50syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
5248peano2nnd 11229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
5310, 12mulgnncl 17757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ Mgm ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
5447, 52, 49, 53syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
5543, 51, 543jca 1123 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹)))
56 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))
57 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ oField)
58 isofld 30111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ oField ↔ (𝐹 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ oRing))
5958simprbi 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ oRing)
60 orngogrp 30110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ oRing → 𝐹 ∈ oGrp)
6157, 59, 603syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ oGrp)
6230ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1r𝐹))
63 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+g𝐹) = (+g𝐹)
6410, 29, 63ogrpaddlt 30027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ oGrp ∧ ((0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1r𝐹)) → ((0g𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))(lt‘𝐹)((1r𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
6561, 43, 49, 51, 62, 64syl131anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((0g𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))(lt‘𝐹)((1r𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
6610, 63, 13grplid 17653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹)) → ((0g𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) = (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))
6741, 51, 66syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((0g𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) = (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))
6867eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) = ((0g𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
6910, 12, 63mulgnnp1 17750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) = ((𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(+g𝐹)(1r𝐹)))
7048, 49, 69syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) = ((𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(+g𝐹)(1r𝐹)))
71 ringcmn 18781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ CMnd)
7257, 9, 713syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ CMnd)
7310, 63cmncom 18409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ CMnd ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(+g𝐹)(1r𝐹)) = ((1r𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
7472, 51, 49, 73syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(+g𝐹)(1r𝐹)) = ((1r𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
7570, 74eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) = ((1r𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
7665, 68, 753brtr4d 4836 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))
7710, 29plttr 17171 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ Poset ∧ ((0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))) → (((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹))) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹))))
7877imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ Poset ∧ ((0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))) ∧ ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))
7938, 55, 56, 76, 78syl22anc 1478 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))
8079exp31 631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → (𝐹 ∈ oField → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))))
8180a2d 29 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))))
8219, 22, 25, 28, 34, 81nnind 11230 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹))))
8382impcom 445 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)))
84 fvex 6362 . . . . . . . . . . 11 (0g𝐹) ∈ V
85 ovex 6841 . . . . . . . . . . 11 (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ V
8629pltne 17163 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ oField ∧ (0g𝐹) ∈ V ∧ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ V) → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) → (0g𝐹) ≠ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹))))
8784, 85, 86mp3an23 1565 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ oField → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) → (0g𝐹) ≠ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹))))
8887adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) → (0g𝐹) ≠ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹))))
8983, 88mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0g𝐹) ≠ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)))
9089necomd 2987 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) ≠ (0g𝐹))
9190neneqd 2937 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹))
9291ralrimiva 3104 . . . . 5 (𝐹 ∈ oField → ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹))
93 rabeq0 4100 . . . . 5 ({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = ∅ ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹))
9492, 93sylibr 224 . . . 4 (𝐹 ∈ oField → {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = ∅)
9594iftrued 4238 . . 3 (𝐹 ∈ oField → if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)}, ℝ, < )) = 0)
9616, 95eqtrd 2794 . 2 (𝐹 ∈ oField → ((od‘𝐹)‘(1r𝐹)) = 0)
974, 96syl5eqr 2808 1 (𝐹 ∈ oField → (chr‘𝐹) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  {crab 3054  Vcvv 3340  ∅c0 4058  ifcif 4230   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  infcinf 8512  ℝcr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   < clt 10266  ℕcn 11212  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  0gc0g 16302  Posetcpo 17141  ltcplt 17142  Tosetctos 17234  Mgmcmgm 17441  Mndcmnd 17495  Grpcgrp 17623  .gcmg 17741  odcod 18144  CMndccmn 18393  1rcur 18701  Ringcrg 18747  CRingccrg 18748  DivRingcdr 18949  Fieldcfield 18950  chrcchr 20052  oGrpcogrp 30007  oRingcorng 30104  oFieldcofld 30105 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-seq 12996  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-0g 16304  df-preset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-toset 17235  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-mulg 17742  df-od 18148  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-drng 18951  df-field 18952  df-chr 20056  df-omnd 30008  df-ogrp 30009  df-orng 30106  df-ofld 30107 This theorem is referenced by:  rerrext  30362  cnrrext  30363
 Copyright terms: Public domain W3C validator