MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulg1 17317
Description: Group multiple (exponentiation) operation at one. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulg1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg1.m · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulg1 (𝑋𝐵 → (1 · 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mulg1
StepHypRef Expression
1 1nn 10878 . . 3 1 ∈ ℕ
2 mulg1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2609 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 mulg1.m . . . 4 · = (.g𝐺)
5 eqid 2609 . . . 4 seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))
62, 3, 4, 5mulgnn 17316 . . 3 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (1 · 𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘1))
71, 6mpan 701 . 2 (𝑋𝐵 → (1 · 𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘1))
8 1z 11240 . . 3 1 ∈ ℤ
9 fvconst2g 6350 . . . 4 ((𝑋𝐵 ∧ 1 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘1) = 𝑋)
101, 9mpan2 702 . . 3 (𝑋𝐵 → ((ℕ × {𝑋})‘1) = 𝑋)
118, 10seq1i 12632 . 2 (𝑋𝐵 → (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘1) = 𝑋)
127, 11eqtrd 2643 1 (𝑋𝐵 → (1 · 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  {csn 4124   × cxp 5026  cfv 5790  (class class class)co 6527  1c1 9793  cn 10867  seqcseq 12618  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  .gcmg 17309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-seq 12619  df-mulg 17310
This theorem is referenced by:  mulg2  17319  mulgnn0p1  17321  mulgm1  17331  mulgp1  17343  mulgnnass  17345  mulgnnassOLD  17346  cycsubgcl  17389  odbezout  17744  od1  17745  odeq1  17746  gex1  17775  gsumsnfd  18120  ablfacrp  18234  pgpfac1lem2  18243  pgpfac1lem3  18245  srgbinom  18314  evlslem1  19282  mulgrhm  19610  zlmlmod  19635  frgpcyg  19686  m2detleiblem5  20192  cayhamlem1  20432  cpmadugsumlemB  20440  ply1remlem  23643  fta1blem  23649  xrsmulgzz  28815  omndmul2  28849  isarchi3  28878  archirngz  28880  archiabllem1a  28882  ofldchr  28951  ply1vr1smo  41965
  Copyright terms: Public domain W3C validator