Theorem ovnsupge0 39246

Description: The set used in the definition of the Lebesgue outer measure is a subset of the nonnegative extended reals. This is a substep for (a)(i) of the proof of Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnsupge0.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ovnsupge0.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
ovnsupge0.3	⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}

Assertion

Ref	Expression
ovnsupge0	⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ (0[,]+∞))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑋,𝑘   𝑖,𝑗,𝑘,𝜑   𝑧,𝑖,𝜑

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑖,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑖,𝑗,𝑘)   𝑋(𝑧,𝑖)

Proof of Theorem ovnsupge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovnsupge0.3	. 2 ⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}
2		simp3 1055	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))
3		nnex 10868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)) → ℕ ∈ V)
5		icossicc 12082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
6		nfv 1828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ)
7		ovnsupge0.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
8	7	ad2antrr 757	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ Fin)
9		elmapi 7737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ) → 𝑖:ℕ⟶((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋))
10	9	ad2antlr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑖:ℕ⟶((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋))
11		simpr 475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
12	6, 8, 10, 11	ovnprodcl 39243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))
13	5, 12	sseldi 3560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)) ∈ (0[,]+∞))
14		eqid 2604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))
15	13, 14	fmptd 6272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)) → (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))):ℕ⟶(0[,]+∞))
16	4, 15	sge0cl 39073	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)) → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))) ∈ (0[,]+∞))
17	16	3adant3 1073	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))) → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))) ∈ (0[,]+∞))
18	2, 17	eqeltrd 2682	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞))
19	18	3adant3l 1313	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞))
20	19	3exp 1255	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ) → ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞))))
21	20	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ) → ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞))))
22	21	rexlimdv 3006	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞)))
23	22	ralrimiva 2943	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ* (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞)))
24		rabss 3636	. . 3 ⊢ ({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))} ⊆ (0[,]+∞) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ* (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞)))
25	23, 24	sylibr 222	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))} ⊆ (0[,]+∞))
26	1, 25	syl5eqss 3606	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1030   = wceq 1474   ∈ wcel 1975  ∀wral 2890  ∃wrex 2891  {crab 2894  Vcvv 3167   ⊆ wss 3534  ∪ ciun 4444   ↦ cmpt 4632   × cxp 5021   ∘ ccom 5027  ⟶wf 5781  ‘cfv 5785  (class class class)co 6522   ↑_𝑚 cmap 7716  Xcixp 7766  Fincfn 7813  ℝcr 9786  0cc0 9787  +∞cpnf 9922  ℝ^*cxr 9924  ℕcn 10862  [,)cico 11999  [,]cicc 12000  ∏cprod 14415  volcvol 22951  Σ^{^}csumge0 39054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-inf2 8393  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864  ax-pre-sup 9865

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-se 4983  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-isom 5794  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-of 6767  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-2o 7420  df-oadd 7423  df-er 7601  df-map 7718  df-pm 7719  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-fi 8172  df-sup 8203  df-inf 8204  df-oi 8270  df-card 8620  df-cda 8845  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-div 10529  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-n0 11135  df-z 11206  df-uz 11515  df-q 11616  df-rp 11660  df-xneg 11773  df-xadd 11774  df-xmul 11775  df-ioo 12001  df-ico 12003  df-icc 12004  df-fz 12148  df-fzo 12285  df-fl 12405  df-seq 12614  df-exp 12673  df-hash 12930  df-cj 13628  df-re 13629  df-im 13630  df-sqrt 13764  df-abs 13765  df-clim 14008  df-rlim 14009  df-sum 14206  df-prod 14416  df-rest 15847  df-topgen 15868  df-psmet 19500  df-xmet 19501  df-met 19502  df-bl 19503  df-mopn 19504  df-top 20458  df-bases 20459  df-topon 20460  df-cmp 20937  df-ovol 22952  df-vol 22953  df-sumge0 39055

This theorem is referenced by:  ovnlerp  39251  ovnf  39252