Theorem icossicc 12199

Description: A closed-below, open-above interval is a subset of its closure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
icossicc	⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem icossicc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 12120	. 2 ⊢ [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)})
2		df-icc 12121	. 2 ⊢ [,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑏)})
3		idd 24	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 11926	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 12128	1 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 384   ∈ wcel 1992   ⊆ wss 3560   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  ℝ^*cxr 10018   < clt 10019   ≤ cle 10020  [,)cico 12116  [,]cicc 12117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-ico 12120  df-icc 12121

This theorem is referenced by:  iccpnfcnv  22646  itg2mulclem  23414  itg2mulc  23415  itg2monolem1  23418  itg2monolem2  23419  itg2monolem3  23420  itg2mono  23421  itg2i1fseqle  23422  itg2i1fseq3  23425  itg2addlem  23426  itg2gt0  23428  itg2cnlem2  23430  psercnlem2  24077  eliccelico  29375  xrge0slmod  29621  xrge0iifcnv  29753  lmlimxrge0  29768  lmdvglim  29774  esumfsupre  29906  esumpfinvallem  29909  esumpfinval  29910  esumpfinvalf  29911  esumpcvgval  29913  esumpmono  29914  esummulc1  29916  sitmcl  30186  itg2addnc  33082  itg2gt0cn  33083  ftc1anclem6  33108  ftc1anclem8  33110  icoiccdif  39148  limciccioolb  39244  ltmod  39261  fourierdlem63  39680  fge0icoicc  39876  sge0tsms  39891  sge0iunmptlemre  39926  sge0isum  39938  sge0xaddlem1  39944  sge0xaddlem2  39945  sge0pnffsumgt  39953  sge0gtfsumgt  39954  sge0seq  39957  ovnsupge0  40065  ovnlecvr  40066  ovnsubaddlem1  40078  sge0hsphoire  40097  hoidmv1lelem3  40101  hoidmv1le  40102  hoidmvlelem1  40103  hoidmvlelem2  40104  hoidmvlelem3  40105  hoidmvlelem4  40106  hoidmvlelem5  40107  hoidmvle  40108  ovnhoilem1  40109  ovnlecvr2  40118  hspmbllem2  40135