Theorem icossicc 12424

Description: A closed-below, open-above interval is a subset of its closure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
icossicc	⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem icossicc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 12345	. 2 ⊢ [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)})
2		df-icc 12346	. 2 ⊢ [,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑏)})
3		idd 24	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 12146	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 12353	1 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 383   ∈ wcel 2127   ⊆ wss 3703   class class class wbr 4792  (class class class)co 6801  ℝ^*cxr 10236   < clt 10237   ≤ cle 10238  [,)cico 12341  [,]cicc 12342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-po 5175  df-so 5176  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-ico 12345  df-icc 12346

This theorem is referenced by:  iccpnfcnv  22915  itg2mulclem  23683  itg2mulc  23684  itg2monolem1  23687  itg2monolem2  23688  itg2monolem3  23689  itg2mono  23690  itg2i1fseqle  23691  itg2i1fseq3  23694  itg2addlem  23695  itg2gt0  23697  itg2cnlem2  23699  psercnlem2  24348  eliccelico  29819  xrge0slmod  30124  xrge0iifcnv  30259  lmlimxrge0  30274  lmdvglim  30280  esumfsupre  30413  esumpfinvallem  30416  esumpfinval  30417  esumpfinvalf  30418  esumpcvgval  30420  esumpmono  30421  esummulc1  30423  sitmcl  30693  itg2addnc  33746  itg2gt0cn  33747  ftc1anclem6  33772  ftc1anclem8  33774  icoiccdif  40222  limciccioolb  40325  ltmod  40342  fourierdlem63  40858  fge0icoicc  41054  sge0tsms  41069  sge0iunmptlemre  41104  sge0isum  41116  sge0xaddlem1  41122  sge0xaddlem2  41123  sge0pnffsumgt  41131  sge0gtfsumgt  41132  sge0seq  41135  ovnsupge0  41246  ovnlecvr  41247  ovnsubaddlem1  41259  sge0hsphoire  41278  hoidmv1lelem3  41282  hoidmv1le  41283  hoidmvlelem1  41284  hoidmvlelem2  41285  hoidmvlelem3  41286  hoidmvlelem4  41287  hoidmvlelem5  41288  hoidmvle  41289  ovnhoilem1  41290  ovnlecvr2  41299  hspmbllem2  41316