Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phicl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phicl2 15454
 Description: Bounds and closure for the value of the Euler ϕ function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phicl2 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ (1...𝑁))

Proof of Theorem phicl2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phival 15453 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
2 fzfi 12754 . . . . . . 7 (1...𝑁) ∈ Fin
3 ssrab2 3679 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...𝑁)
4 ssfi 8165 . . . . . . 7 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...𝑁)) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin)
52, 3, 4mp2an 707 . . . . . 6 {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin
6 hashcl 13130 . . . . . 6 ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin → (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℕ0)
75, 6ax-mp 5 . . . . 5 (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℕ0
87nn0zi 11387 . . . 4 (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℤ
98a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℤ)
10 1z 11392 . . . . 5 1 ∈ ℤ
11 hashsng 13142 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → (#‘{1}) = 1)
1210, 11ax-mp 5 . . . 4 (#‘{1}) = 1
13 ovex 6663 . . . . . . 7 (1...𝑁) ∈ V
1413rabex 4804 . . . . . 6 {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ V
15 eluzfz1 12333 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
16 nnuz 11708 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
1715, 16eleq2s 2717 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (1...𝑁))
18 nnz 11384 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
19 1gcd 15235 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (1 gcd 𝑁) = 1)
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1 gcd 𝑁) = 1)
21 oveq1 6642 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (𝑥 gcd 𝑁) = (1 gcd 𝑁))
2221eqeq1d 2622 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 ↔ (1 gcd 𝑁) = 1))
2322elrab 3357 . . . . . . . 8 (1 ∈ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ↔ (1 ∈ (1...𝑁) ∧ (1 gcd 𝑁) = 1))
2417, 20, 23sylanbrc 697 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
2524snssd 4331 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → {1} ⊆ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
26 ssdomg 7986 . . . . . 6 ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ V → ({1} ⊆ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} → {1} ≼ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
2714, 25, 26mpsyl 68 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → {1} ≼ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
28 snfi 8023 . . . . . 6 {1} ∈ Fin
29 hashdom 13151 . . . . . 6 (({1} ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin) → ((#‘{1}) ≤ (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ↔ {1} ≼ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
3028, 5, 29mp2an 707 . . . . 5 ((#‘{1}) ≤ (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ↔ {1} ≼ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
3127, 30sylibr 224 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (#‘{1}) ≤ (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
3212, 31syl5eqbrr 4680 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
33 ssdomg 7986 . . . . . 6 ((1...𝑁) ∈ V → ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...𝑁) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...𝑁)))
3413, 3, 33mp2 9 . . . . 5 {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...𝑁)
35 hashdom 13151 . . . . . 6 (({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (#‘(1...𝑁)) ↔ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...𝑁)))
365, 2, 35mp2an 707 . . . . 5 ((#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (#‘(1...𝑁)) ↔ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...𝑁))
3734, 36mpbir 221 . . . 4 (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (#‘(1...𝑁))
38 nnnn0 11284 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
39 hashfz1 13117 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#‘(1...𝑁)) = 𝑁)
4038, 39syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (#‘(1...𝑁)) = 𝑁)
4137, 40syl5breq 4681 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ 𝑁)
42 elfz1 12316 . . . 4 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ (1...𝑁) ↔ ((#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∧ (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ 𝑁)))
4310, 18, 42sylancr 694 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ (1...𝑁) ↔ ((#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∧ (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ 𝑁)))
449, 32, 41, 43mpbir3and 1243 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ (1...𝑁))
451, 44eqeltrd 2699 1 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ (1...𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1036   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  {crab 2913  Vcvv 3195   ⊆ wss 3567  {csn 4168   class class class wbr 4644  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635   ≼ cdom 7938  Fincfn 7940  1c1 9922   ≤ cle 10060  ℕcn 11005  ℕ0cn0 11277  ℤcz 11362  ℤ≥cuz 11672  ...cfz 12311  #chash 13100   gcd cgcd 15197  ϕcphi 15450 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-fz 12312  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-dvds 14965  df-gcd 15198  df-phi 15452 This theorem is referenced by:  phicl  15455  phi1  15459
 Copyright terms: Public domain W3C validator