MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzfi 12588
Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzfi (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzfi
StepHypRef Expression
1 0fin 8050 . . 3 ∅ ∈ Fin
2 eleq1 2675 . . 3 ((𝑀...𝑁) = ∅ → ((𝑀...𝑁) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
31, 2mpbiri 246 . 2 ((𝑀...𝑁) = ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4 fzn0 12181 . . 3 ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 onfin2 8014 . . . . . 6 ω = (On ∩ Fin)
6 inss2 3795 . . . . . 6 (On ∩ Fin) ⊆ Fin
75, 6eqsstri 3597 . . . . 5 ω ⊆ Fin
8 eqid 2609 . . . . . . 7 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
98hashgf1o 12587 . . . . . 6 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
10 peano2uz 11573 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
11 uznn0sub 11551 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
13 f1ocnvdm 6418 . . . . . 6 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
149, 12, 13sylancr 693 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
157, 14sseldi 3565 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
168fzen2 12585 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
17 enfii 8039 . . . 4 ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝑀...𝑁) ≈ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
1815, 16, 17syl2anc 690 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
194, 18sylbi 205 . 2 ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
203, 19pm2.61ine 2864 1 (𝑀...𝑁) ∈ Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  Vcvv 3172  cin 3538  c0 3873   class class class wbr 4577  cmpt 4637  ccnv 5027  cres 5030  Oncon0 5626  1-1-ontowf1o 5789  cfv 5790  (class class class)co 6527  ωcom 6934  reccrdg 7369  cen 7815  Fincfn 7818  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795  cmin 10117  0cn0 11139  cuz 11519  ...cfz 12152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153
This theorem is referenced by:  fzfid  12589  fzofi  12590  fsequb  12591  fsequb2  12592  fseqsupcl  12593  ssnn0fi  12601  seqf1o  12659  isfinite4  12966  hashdom  12981  fzsdom2  13027  fnfz0hashnn0  13041  seqcoll2  13058  caubnd  13892  limsupgre  14006  fz1f1o  14234  summolem3  14238  summolem2  14240  zsum  14242  prodmolem3  14448  prodmolem2  14450  zprod  14452  risefallfac  14540  bpolylem  14564  phicl2  15257  phibnd  15260  hashdvds  15264  phiprmpw  15265  eulerth  15272  phisum  15279  pcfac  15387  prmreclem2  15405  prmreclem3  15406  prmreclem4  15407  prmreclem5  15408  prmrec  15410  1arith  15415  vdwlem6  15474  vdwlem10  15478  vdwlem12  15480  prmdvdsprmo  15530  prmgaplcmlem1  15539  prmgaplcm  15548  isstruct2  15650  gsumval3lem1  18075  gsumval3lem2  18076  gsumval3  18077  coe1mul2  19406  ovoliunlem2  22995  uniioombllem6  23079  itg0  23269  itgz  23270  coemullem  23727  aannenlem1  23804  aannenlem2  23805  birthdaylem1  24395  birthdaylem2  24396  wilthlem2  24512  wilthlem3  24513  ftalem5  24520  ppifi  24549  prmdvdsfi  24550  chtdif  24601  ppidif  24606  chp1  24610  ppiltx  24620  prmorcht  24621  mumul  24624  sqff1o  24625  ppiub  24646  pclogsum  24657  logexprlim  24667  gausslemma2dlem1  24808  gausslemma2dlem5  24813  gausslemma2dlem6  24814  lgseisenlem2  24818  axlowdimlem16  25555  wlks  25813  wlkres  25816  trls  25832  crcts  25916  cycls  25917  konigsberg  26280  pmtrto1cl  28986  psgnfzto1stlem  28987  fzto1st  28990  psgnfzto1st  28992  smatcl  29002  1smat1  29004  esumpcvgval  29273  esumcvg  29281  carsggect  29513  carsgclctunlem2  29514  oddpwdc  29549  eulerpartlemb  29563  ballotlem1  29681  ballotlem2  29683  ballotlemfelz  29685  ballotlemfp1  29686  ballotlemfc0  29687  ballotlemfcc  29688  ballotlemfmpn  29689  ballotlemiex  29696  ballotlemsup  29699  ballotlemfg  29720  ballotlemfrc  29721  ballotlemfrceq  29723  ballotth  29732  plymulx0  29756  subfacf  30217  subfacp1lem1  30221  subfacp1lem3  30224  subfacp1lem5  30226  subfacp1lem6  30227  erdszelem2  30234  erdszelem10  30242  cvmliftlem15  30340  bcprod  30683  ptrecube  32382  poimirlem25  32407  poimirlem26  32408  poimirlem27  32409  poimirlem28  32410  poimirlem29  32411  poimirlem30  32412  poimirlem31  32413  poimirlem32  32414  mblfinlem2  32420  volsupnfl  32427  itg2addnclem2  32435  nnubfi  32519  nninfnub  32520  cntotbnd  32568  eldioph2lem1  36144  eldioph2lem2  36145  eldioph2  36146  pellexlem5  36218  pellex  36220  jm2.22  36383  jm2.23  36384  hbt  36522  rp-isfinite6  36686  fzisoeu  38258  sumnnodd  38501  stoweidlem37  38734  stoweidlem44  38741  stoweidlem59  38756  fourierdlem37  38841  fourierdlem103  38906  fourierdlem104  38907  etransclem16  38947  etransclem24  38955  etransclem25  38956  etransclem33  38964  etransclem35  38966  etransclem44  38975  etransclem45  38976  sge0reuz  39144  hoidmvlelem2  39290  konigsberglem5  41428  aacllem  42319
  Copyright terms: Public domain W3C validator