Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpyid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phtpyid 22835
 Description: A homotopy from a path to itself. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phtpyid.1 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹𝑥))
phtpyid.3 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
Assertion
Ref Expression
phtpyid (𝜑𝐺 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem phtpyid
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phtpyid.3 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2 phtpyid.1 . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹𝑥))
3 iitopon 22729 . . . 4 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
52, 4, 1htpyid 22823 . 2 (𝜑𝐺 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐹))
6 0elunit 12328 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
7 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘0))
8 eqidd 2652 . . . . 5 (𝑦 = 𝑠 → (𝐹‘0) = (𝐹‘0))
9 fvex 6239 . . . . 5 (𝐹‘0) ∈ V
107, 8, 2, 9ovmpt2 6838 . . . 4 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐺𝑠) = (𝐹‘0))
116, 10mpan 706 . . 3 (𝑠 ∈ (0[,]1) → (0𝐺𝑠) = (𝐹‘0))
1211adantl 481 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐺𝑠) = (𝐹‘0))
13 1elunit 12329 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
14 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘1))
15 eqidd 2652 . . . . 5 (𝑦 = 𝑠 → (𝐹‘1) = (𝐹‘1))
16 fvex 6239 . . . . 5 (𝐹‘1) ∈ V
1714, 15, 2, 16ovmpt2 6838 . . . 4 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐺𝑠) = (𝐹‘1))
1813, 17mpan 706 . . 3 (𝑠 ∈ (0[,]1) → (1𝐺𝑠) = (𝐹‘1))
1918adantl 481 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐺𝑠) = (𝐹‘1))
201, 1, 5, 12, 19isphtpyd 22832 1 (𝜑𝐺 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692  0cc0 9974  1c1 9975  [,]cicc 12216  TopOnctopon 20763   Cn ccn 21076  IIcii 22725  PHtpycphtpy 22814 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-icc 12220  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cn 21079  df-tx 21413  df-ii 22727  df-htpy 22816  df-phtpy 22817 This theorem is referenced by:  phtpcer  22841
 Copyright terms: Public domain W3C validator