MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppieq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppieq0 24819
Description: The prime-counting function π is zero iff its argument is less than 2. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppieq0 (𝐴 ∈ ℝ → ((π𝐴) = 0 ↔ 𝐴 < 2))

Proof of Theorem ppieq0
StepHypRef Expression
1 2re 11042 . . . . 5 2 ∈ ℝ
2 lenlt 10068 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 2))
31, 2mpan 705 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 2))
4 ppinncl 24817 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π𝐴) ∈ ℕ)
54nnne0d 11017 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π𝐴) ≠ 0)
65ex 450 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 → (π𝐴) ≠ 0))
73, 6sylbird 250 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 < 2 → (π𝐴) ≠ 0))
87necon4bd 2810 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((π𝐴) = 0 → 𝐴 < 2))
9 reflcl 12545 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
109adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
11 1red 10007 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → 1 ∈ ℝ)
12 2z 11361 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
13 fllt 12555 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐴 < 2 ↔ (⌊‘𝐴) < 2))
1412, 13mpan2 706 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 2 ↔ (⌊‘𝐴) < 2))
1514biimpa 501 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) < 2)
16 df-2 11031 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
1715, 16syl6breq 4659 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) < (1 + 1))
18 flcl 12544 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
1918adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
20 1z 11359 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
21 zleltp1 11380 . . . . . . . 8 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝐴) < (1 + 1)))
2219, 20, 21sylancl 693 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → ((⌊‘𝐴) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝐴) < (1 + 1)))
2317, 22mpbird 247 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ≤ 1)
24 ppiwordi 24805 . . . . . 6 (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 1) → (π‘(⌊‘𝐴)) ≤ (π‘1))
2510, 11, 23, 24syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘(⌊‘𝐴)) ≤ (π‘1))
26 ppifl 24803 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π𝐴))
2726adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π𝐴))
28 ppi1 24807 . . . . . 6 (π‘1) = 0
2928a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘1) = 0)
3025, 27, 293brtr3d 4649 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π𝐴) ≤ 0)
31 ppicl 24774 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (π𝐴) ∈ ℕ0)
3231adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π𝐴) ∈ ℕ0)
33 nn0le0eq0 11273 . . . . 5 ((π𝐴) ∈ ℕ0 → ((π𝐴) ≤ 0 ↔ (π𝐴) = 0))
3432, 33syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → ((π𝐴) ≤ 0 ↔ (π𝐴) = 0))
3530, 34mpbid 222 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π𝐴) = 0)
3635ex 450 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 2 → (π𝐴) = 0))
378, 36impbid 202 1 (𝐴 ∈ ℝ → ((π𝐴) = 0 ↔ 𝐴 < 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   < clt 10026  cle 10027  2c2 11022  0cn0 11244  cz 11329  cfl 12539  πcppi 24737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-xnn0 11316  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fl 12541  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-dvds 14919  df-prm 15321  df-ppi 24743
This theorem is referenced by:  ppiltx  24820
  Copyright terms: Public domain W3C validator