Theorem chtrpcl 25752

Description: Closure of the Chebyshev function in the positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chtrpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (θ‘𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem chtrpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chtcl 25686	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (θ‘𝐴) ∈ ℝ)
3		0red 10644	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
4		2re 11712	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		1lt2 11809	. . . . 5 ⊢ 1 < 2
6		rplogcl 25187	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ+)
7	4, 5, 6	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ+
8		rpre 12398	. . . 4 ⊢ ((log‘2) ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
9	7, 8	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (log‘2) ∈ ℝ)
10		rpgt0 12402	. . . 4 ⊢ ((log‘2) ∈ ℝ+ → 0 < (log‘2))
11	7, 10	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → 0 < (log‘2))
12		cht2 25749	. . . 4 ⊢ (θ‘2) = (log‘2)
13		chtwordi 25733	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (θ‘2) ≤ (θ‘𝐴))
14	4, 13	mp3an1 1444	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (θ‘2) ≤ (θ‘𝐴))
15	12, 14	eqbrtrrid 5102	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (log‘2) ≤ (θ‘𝐴))
16	3, 9, 2, 11, 15	ltletrd 10800	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → 0 < (θ‘𝐴))
17	2, 16	elrpd 12429	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (θ‘𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   < clt 10675   ≤ cle 10676  2c2 11693  ℝ⁺crp 12390  logclog 25138  θccht 25668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-fi 8875  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-ioo 12743  df-ioc 12744  df-ico 12745  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-fac 13635  df-bc 13664  df-hash 13692  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-sin 15423  df-cos 15424  df-pi 15426  df-dvds 15608  df-prm 16016  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24464  df-dv 24465  df-log 25140  df-cht 25674

This theorem is referenced by:  chprpcl  25783  chteq0  25785  chebbnd2  26053  chto1lb  26054  chpchtlim  26055  chpo1ub  26056  pnt2  26189  pnt  26190