Theorem ppiwordi 24688

Description: The prime-counting function π is weakly increasing. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppiwordi	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (π‘𝐴) ≤ (π‘𝐵))

Proof of Theorem ppiwordi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1055	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		ppifi 24632	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0[,]𝐵) ∩ ℙ) ∈ Fin)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((0[,]𝐵) ∩ ℙ) ∈ Fin)
4		0red 9920	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
5		0le0 10987	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 ≤ 0)
7		simp3 1056	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
8		iccss 12112	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (0[,]𝐴) ⊆ (0[,]𝐵))
9	4, 1, 6, 7, 8	syl22anc 1319	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (0[,]𝐴) ⊆ (0[,]𝐵))
10		ssrin 3800	. . . . 5 ⊢ ((0[,]𝐴) ⊆ (0[,]𝐵) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ))
12		ssdomg 7887	. . . 4 ⊢ (((0[,]𝐵) ∩ ℙ) ∈ Fin → (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ≼ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)))
13	3, 11, 12	sylc 63	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ≼ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ))
14		ppifi 24632	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
15	14	3ad2ant1 1075	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
16		hashdom 13029	. . . 4 ⊢ ((((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ) ∈ Fin) → ((#‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) ≤ (#‘((0[,]𝐵) ∩ ℙ)) ↔ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ≼ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)))
17	15, 3, 16	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((#‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) ≤ (#‘((0[,]𝐵) ∩ ℙ)) ↔ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ≼ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)))
18	13, 17	mpbird 246	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (#‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) ≤ (#‘((0[,]𝐵) ∩ ℙ)))
19		ppival 24653	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘𝐴) = (#‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))
20	19	3ad2ant1 1075	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (π‘𝐴) = (#‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))
21		ppival 24653	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (π‘𝐵) = (#‘((0[,]𝐵) ∩ ℙ)))
22	1, 21	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (π‘𝐵) = (#‘((0[,]𝐵) ∩ ℙ)))
23	18, 20, 22	3brtr4d 4615	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (π‘𝐴) ≤ (π‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ≼ cdom 7839  Fincfn 7841  ℝcr 9814  0cc0 9815   ≤ cle 9954  [,]cicc 12049  #chash 12979  ℙcprime 15223  πcppi 24620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-prm 15224  df-ppi 24626

This theorem is referenced by:  ppinncl  24700  ppieq0  24702  ppiub  24729  chebbnd1lem1  24958  chebbnd1lem3  24960