MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwxpndom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwxpndom2 9434
Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into its Cartesian product with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwxpndom2 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)))

Proof of Theorem pwxpndom2
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwfseq 9433 . 2 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛))
2 reldom 7908 . . . . . . 7 Rel ≼
32brrelex2i 5121 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ V)
4 oveq1 6614 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑚 1𝑜) = (𝐴𝑚 1𝑜))
5 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
64, 5breq12d 4628 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝑚 1𝑜) ≈ 𝑥 ↔ (𝐴𝑚 1𝑜) ≈ 𝐴))
7 df1o2 7520 . . . . . . . . 9 1𝑜 = {∅}
87oveq2i 6618 . . . . . . . 8 (𝑥𝑚 1𝑜) = (𝑥𝑚 {∅})
9 vex 3189 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
10 0ex 4752 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
119, 10mapsnen 7982 . . . . . . . 8 (𝑥𝑚 {∅}) ≈ 𝑥
128, 11eqbrtri 4636 . . . . . . 7 (𝑥𝑚 1𝑜) ≈ 𝑥
136, 12vtoclg 3252 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (𝐴𝑚 1𝑜) ≈ 𝐴)
14 ensym 7952 . . . . . 6 ((𝐴𝑚 1𝑜) ≈ 𝐴𝐴 ≈ (𝐴𝑚 1𝑜))
153, 13, 143syl 18 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴𝐴 ≈ (𝐴𝑚 1𝑜))
16 map2xp 8077 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (𝐴𝑚 2𝑜) ≈ (𝐴 × 𝐴))
17 ensym 7952 . . . . . 6 ((𝐴𝑚 2𝑜) ≈ (𝐴 × 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ (𝐴𝑚 2𝑜))
183, 16, 173syl 18 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐴) ≈ (𝐴𝑚 2𝑜))
19 elmapi 7826 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 1𝑜) → 𝑥:1𝑜𝐴)
20 fdm 6010 . . . . . . . . . . 11 (𝑥:1𝑜𝐴 → dom 𝑥 = 1𝑜)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 1𝑜) → dom 𝑥 = 1𝑜)
2221adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝐴𝑚 1𝑜) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝑚 2𝑜)) → dom 𝑥 = 1𝑜)
23 1onn 7667 . . . . . . . . . . . . . 14 1𝑜 ∈ ω
2423elexi 3199 . . . . . . . . . . . . 13 1𝑜 ∈ V
2524sucid 5765 . . . . . . . . . . . 12 1𝑜 ∈ suc 1𝑜
26 df-2o 7509 . . . . . . . . . . . 12 2𝑜 = suc 1𝑜
2725, 26eleqtrri 2697 . . . . . . . . . . 11 1𝑜 ∈ 2𝑜
28 1on 7515 . . . . . . . . . . . 12 1𝑜 ∈ On
2928onirri 5795 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1𝑜 ∈ 1𝑜
30 nelneq2 2723 . . . . . . . . . . 11 ((1𝑜 ∈ 2𝑜 ∧ ¬ 1𝑜 ∈ 1𝑜) → ¬ 2𝑜 = 1𝑜)
3127, 29, 30mp2an 707 . . . . . . . . . 10 ¬ 2𝑜 = 1𝑜
32 elmapi 7826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 2𝑜) → 𝑥:2𝑜𝐴)
33 fdm 6010 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥:2𝑜𝐴 → dom 𝑥 = 2𝑜)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 2𝑜) → dom 𝑥 = 2𝑜)
3534adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝐴𝑚 1𝑜) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝑚 2𝑜)) → dom 𝑥 = 2𝑜)
3635eqeq1d 2623 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝐴𝑚 1𝑜) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝑚 2𝑜)) → (dom 𝑥 = 1𝑜 ↔ 2𝑜 = 1𝑜))
3731, 36mtbiri 317 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝐴𝑚 1𝑜) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝑚 2𝑜)) → ¬ dom 𝑥 = 1𝑜)
3822, 37pm2.65i 185 . . . . . . . 8 ¬ (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 1𝑜) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝑚 2𝑜))
39 elin 3776 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((𝐴𝑚 1𝑜) ∩ (𝐴𝑚 2𝑜)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 1𝑜) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝑚 2𝑜)))
4038, 39mtbir 313 . . . . . . 7 ¬ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑚 1𝑜) ∩ (𝐴𝑚 2𝑜))
4140a1i 11 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑚 1𝑜) ∩ (𝐴𝑚 2𝑜)))
4241eq0rdv 3953 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → ((𝐴𝑚 1𝑜) ∩ (𝐴𝑚 2𝑜)) = ∅)
43 cdaenun 8943 . . . . 5 ((𝐴 ≈ (𝐴𝑚 1𝑜) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≈ (𝐴𝑚 2𝑜) ∧ ((𝐴𝑚 1𝑜) ∩ (𝐴𝑚 2𝑜)) = ∅) → (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)) ≈ ((𝐴𝑚 1𝑜) ∪ (𝐴𝑚 2𝑜)))
4415, 18, 42, 43syl3anc 1323 . . . 4 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)) ≈ ((𝐴𝑚 1𝑜) ∪ (𝐴𝑚 2𝑜)))
45 omex 8487 . . . . . 6 ω ∈ V
46 ovex 6635 . . . . . 6 (𝐴𝑚 𝑛) ∈ V
4745, 46iunex 7096 . . . . 5 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛) ∈ V
48 oveq2 6615 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1𝑜 → (𝐴𝑚 𝑛) = (𝐴𝑚 1𝑜))
4948ssiun2s 4532 . . . . . . 7 (1𝑜 ∈ ω → (𝐴𝑚 1𝑜) ⊆ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛))
5023, 49ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐴𝑚 1𝑜) ⊆ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛)
51 2onn 7668 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ ω
52 oveq2 6615 . . . . . . . 8 (𝑛 = 2𝑜 → (𝐴𝑚 𝑛) = (𝐴𝑚 2𝑜))
5352ssiun2s 4532 . . . . . . 7 (2𝑜 ∈ ω → (𝐴𝑚 2𝑜) ⊆ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛))
5451, 53ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐴𝑚 2𝑜) ⊆ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛)
5550, 54unssi 3768 . . . . 5 ((𝐴𝑚 1𝑜) ∪ (𝐴𝑚 2𝑜)) ⊆ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛)
56 ssdomg 7948 . . . . 5 ( 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛) ∈ V → (((𝐴𝑚 1𝑜) ∪ (𝐴𝑚 2𝑜)) ⊆ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛) → ((𝐴𝑚 1𝑜) ∪ (𝐴𝑚 2𝑜)) ≼ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛)))
5747, 55, 56mp2 9 . . . 4 ((𝐴𝑚 1𝑜) ∪ (𝐴𝑚 2𝑜)) ≼ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛)
58 endomtr 7961 . . . 4 (((𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)) ≈ ((𝐴𝑚 1𝑜) ∪ (𝐴𝑚 2𝑜)) ∧ ((𝐴𝑚 1𝑜) ∪ (𝐴𝑚 2𝑜)) ≼ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛)) → (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)) ≼ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛))
5944, 57, 58sylancl 693 . . 3 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)) ≼ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛))
60 domtr 7956 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)) ∧ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)) ≼ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛)) → 𝒫 𝐴 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛))
6160expcom 451 . . 3 ((𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)) ≼ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛) → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)) → 𝒫 𝐴 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛)))
6259, 61syl 17 . 2 (ω ≼ 𝐴 → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)) → 𝒫 𝐴 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛)))
631, 62mtod 189 1 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  cun 3554  cin 3555  wss 3556  c0 3893  𝒫 cpw 4132  {csn 4150   ciun 4487   class class class wbr 4615   × cxp 5074  dom cdm 5076  suc csuc 5686  wf 5845  (class class class)co 6607  ωcom 7015  1𝑜c1o 7501  2𝑜c2o 7502  𝑚 cmap 7805  cen 7899  cdom 7900   +𝑐 ccda 8936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7244  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-seqom 7491  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-omul 7513  df-oexp 7514  df-er 7690  df-map 7807  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fsupp 8223  df-oi 8362  df-har 8410  df-cnf 8506  df-card 8712  df-cda 8937
This theorem is referenced by:  pwxpndom  9435  pwcdandom  9436
  Copyright terms: Public domain W3C validator